第十六讲 立体几何自主招生

9.（2010五校联考）平面?//平面?，直线m??,n??，点A?m,B?n,AB与?面夹角为

?，AB?n，4AB与m的夹角为

?，求m与n的夹角。 310.（2007武大）在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F,P分别为棱AA1,CD,B1C1的中点。

（1）求证：BE?PF；

（2）求四面体B?PEF的体积。

11.（2004复旦）已知E为棱长为?的正方体ABCD?A1B1C1D1的棱AB的中点，求点B到平面A1EC的距离。

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12.（2005复旦）在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F,G分别为AD,AA1,A1B1中点，求：

（1）B到面EFG的距离；

（2）二面角G?EF?D1的平面角?。

【参考答案】

1.【答案】D 【分析与解答】：此为一个立方体削去一个角所得。

2.【答案】C

【分析与解答】：四边形ABCD是菱形，且?DAB??3，故?ABD是等边三角形。E是AB的中点，故

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DE?AB。由三垂线定理知PE?AB,FE?AB，所以?PEF即是二面角P?AB?F的平面角。

设PD?AD?1，则PF?137，DE?，EF?1，PE?。在?PEF中，由余弦定理知 222cos?PEF?57。 14PFDCAEB 3.【答案】：A

【分析与解答】：易知DM?CM?3。在?CMN中，由中线长公式，知21111。 MN2?(CM2?DM2)?CD2??MN?24224.【答案】D

【分析与解答】：在直线a上任取一点A，考虑A与直线b所成的平面与直线c有无交点。若存在交点C，则直线AC与直线b有交点B，则直线ABC与a,b,c均相交。若在直线a上的两点A1,A2，与直线b组成的平面?,?，均与直线c不相交，则c//?,c//?，又?与?的交线为b?b//c，这与b,c为异面直线矛盾。所以由点A的任意性，知与a,b,c均相交的直线有无穷多条。

5.【答案】B 【分析与解答】：设小球半径是r。考虑其轴截面，如图①所示，利用大球与小球的球心距以及勾股定理，

1?3??1?可得?r???2??r??r??2。考虑大球及小球在底面上的投影，如图②所示，则现在只要2?2??2?计算在一个半径为

221的圆内能放入多少个与之内切的半径为r的圆。考虑一个小圆对于大圆圆心的张角215

33?2?2?r2??2?2arcsin2?n?2??30.1。 ?，其中sin?12?2?12?1?r2

① ② 6.【答案】C

【分析与解答】：设两球的半径为r1和r2，圆心为O1和O2，则O1,O2在对角线上，O1O2?r1?r2。设主对角线为AB，O1A?3r1?r2?1,O2B?3r2，故r1?r2?3r1?3r2?3a，r3?3。 2AO1O2B 7.【答案】2

【分析与解答】：设AB??，依题意知BB'?AB'，且?BAB'?而?AB'A'是一个Rt?，?AA'B'?90，所以A'B'?0?4，所以AB'?12AA'?a，a。同理，

22AB'2?AA'2?AB1?2。 a。所以

A'B'2

8.【分析与解答】：（1）PA?面ABCD，故AC是PC在底面ABCD上的射影。而AC?BD，故由三垂线定理，知PC?BD。

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