2016年高三新课标数学寒假作业2

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【点评】本题以复合命题真假的判断为载体，考查了余弦函数的值域和一元二次不等式恒成立等知识，属于基础题． 2.D

【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】首先，画出函数f（x）=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，3]上有三个零点，进行判断．

【解答】解：函数f（x）=|lnx|的图象如图示：

当a≤0时，显然，不合乎题意， 当a＞0时，如图示，

当x∈（0，1]时，存在一个零点， 当x＞1时，f（x）=lnx，

可得g（x）=lnx﹣ax，（x∈（1，3]） g′（x）=

=

，

若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数， 若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数， 此时f（x）必须在[1，3]上有两个零点，

·5·

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∴

解得，，

在区间（0，3]上有三个零点时，

，

故选D．

【点评】本题重点考查函数的零点，属于中档题，难度中等． 3.A

【考点】等差数列的性质． 【专题】计算题．

【分析】根据等差中项的性质可知a3+a6+a10+a13=4a8求得a8，进而可知a8=am求得m的值． 【解答】解：a3+a6+a10+a13=4a8=32 ∴a8=8 ∵am=8 ∴m=8 故选A

【点评】本题主要考查了等差中项的性质．属基础题． 4.B

【考点】两角和与差的余弦函数．

【专题】计算题；函数思想；转化思想；三角函数的求值．

【分析】利用同角三角函数的基本关系式以及两角和与差的余弦函数化简求解即可． 【解答】解：可得

，

=

．

，

·6·

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cosα=cos（α+=故选：B

﹣）+

=

=

．

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查转化思想的应用． 5.B

【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】平面向量及应用． 【分析】由条件可得的值．

【解答】解：由已知||=2，||=2，向量?（+2）=0， 可得

+2

=0，即 4+2×2×2cos＜，＞=0，

+2

=0，求得 cos＜，＞的值．再由＜，＞∈，可得＜，＞

求得 cos＜，＞=﹣． 再由＜，＞∈，可得＜，＞=故选B．

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题． 6.A

【考点】简单线性规划．

【专题】数形结合；分类讨论；转化思想；数形结合法；分类法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．

【分析】画出满足条件的可行域，分析出函数f（λ）的最小值为M≤到直线OA：x+y=0的最大距离不大于

恒成立表示可行域内的点

，

，结合可行域的图象，分类讨论，可得答案．

【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：

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函数f（λ）=|﹣λ|（λ∈R）表示P点到直线OA上一点的距离，

恒成立，

即可，

若函数f（λ）的最小值为M≤

则仅需可行域内的点到直线OA：x+y=0的最大距离不大于若k≥2，则不存在满足条件的点， 若k＜2，则存在B点（

，

）到直线OA：x+y=0的距离最远，

此时d=解得：k≤1， 故选：A

≤，

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，关键是对题意的理解，是难题． 7.C

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离．

【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥， 画出图形，结合图形即可求出该三棱锥中最长棱是多少． 【解答】解：根据几何体的三视图，得；

该几何体为底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥， 如图所示；

且三棱锥的高为SD=2，底面三角形边长BC=2，高AD=2；

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