基于LMS的自适应滤波器的设计

铜陵学院毕业论文(设计)

类别的自适应滤波算法都是由LMS和RLS这两种准则发展而出。

自适应滤波器的特点是 ：自适应滤波器可以自行的按照一定的准则， 自动的去调整参数， 使它达到最佳状态，实现最佳的滤波；它不用对信号和噪声的先验统计知识进行了解， 特别在输入统计特性发生变化的时候，为了实现最佳滤波，自适应滤波器可以自动的通过调整系统的参数来实现。这是因为他具有的自我学习和对环境变化的跟踪的能力。

自适应滤波器有许多各式各样的结构，这些各式各样的结构都是可以用来实现在变化环境下的自适应滤波。不同结构的自适应滤波器的选取，计算的复杂度就会不同，同样迭代次数也会不相同，这对达到期望性能所需的标准都是有影响的。从根本上讲，自适应数字滤波器可以分为两大类，即 FIR滤波器和 IIR滤波器。FIR滤波器通常是利用非递归结构来实现的，而IIR滤波器则不同，它是利用递归结构来实现的。

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熊伟：基于LMS的自适应滤波器的设计

第二章 LMS算法

2.1 LMS算法简介

早在二十世纪中叶，是由Widrow和Hoff在研究模式识别机时最先提出LMS算法的，数十年来，自适应算法如今不断被科研者改进，已是层出不穷，然而最喜爱的自适应算法仍然是LMS算法。最速下降法，这是LMS算法所采用优化方法。不过这种随机梯度的估计是无偏的，当输入信号是平稳随机信号时，滤波器权系数的数学期望可以收敛到维纳解。算法相对简单，运算量较小，相对其他算法又易于实现，这些都是LMS算法的主要优点。但是收敛速度较慢其主要缺点，而且输入信号的统计特性又与收敛速度密切有关。另一方面，LMS算法对于非平稳随机输入的跟踪能力较差。几十年来，在LMS算法的性能分析，以及算法改进方面研究学者们进行了大量的 探索，研究，无论是在理论上，还是在应用上都积累了丰富的经验。并且他们还提出了许多LMS算法的改进算法，例如：归一化LMS算法、变步长LMS算法等，这些改进的算法从许多方面改进了LMS算法的性能，从而也使LMS算法的应用范围得到扩展。

作为最小均方准则下的信号处理器，LMS自适应滤波器与维纳滤波器二者既有联系，又有区别。最小均方准则下的线性滤波问题解决，是后者所面临的主要问题，这种方法要求已知平稳随机信号和噪声信号的函数或功率谱密度函数。这在实际中往往由于缺少对于先验知识的了解而遇到困难，不能实现最优滤波。以均方误差最小为最优，这是LMS自适应滤波器的准则，当滤波器的滤波算法收敛时，该滤波器的权系数就会与维纳滤波器的权系数完全相同。但是在实现或设计中，关于输入随机信号和噪声的统计先验知识就无需像其他算法那样进行了解，它完全不需要或仅需要很少的了解。只要满足一定的收敛条件，LMS自适应滤波器就会经过自学习和自调整的过程而达到最优状态。 2.2 LMS算法原理介绍

LMS自适应算法就是一种线性自适应滤波算法。一般来说。滤波过程以及自适应过程是LMS算法的两个基本的过程。在滤波过程中，自适应滤波器通过计算其对输入的响应，将计算值与期望响应进行比较，就能得到误差信号，并且在自适应过程当中，系统就根据比较所得到的估计误差信号自动对其自身参数进行调整，这就形成了一个反馈环，构成一个反馈系统，如图2-1所示：

横向滤波器w(n) x(n) 自适应权控制算法 e(n) - ∑ y(n) + d(n)

图2-1 自适应横向滤波器的原理框图

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在图2-1中，滤波过程由横向自适应滤波器来完成，滤波器权系数则由自适应权值控制算法来进行自适应调整，自适应滤波器的输出信号y(n)为

y?n??wT?n??x?n? (2.1)

T表示转置矩阵，n表示时间指针。

自适应滤波器的误差信号为

e?n??d??n?y?误差序列可写为

e?n??d??n?y? (2.2) ?n?n??d?Tn?w??n?x? (2.3) ? n其中y(n)是滤波器的输出， d(n)是期望信号。使用输入向量x(n)和e(n)来更新自适应

滤波器的最小化标准的相关系数。

均方误差(MSE)为

??n??E?e2?n???E?d2?n?-2d?n?y?n??y2?n?? (2.4)

将公式(2.2)中的代入(2.4)得

??n??E?e2?n???E?d2?n??-2E?d?n?wT?n?x?n???E?wT?n?x?n?xT?n?w?n?? (2.5)

当滤波器的系数固定时，目标函数又可以表示为

??n??E?d2?n??-2wT?n?P?wT?n?Rw?n?

(2.6)

P?E??d?n??x?n???是N*1互相关向量，指出了期望信号d(n)和输入信号向量x(n)的互相关矢量。

TR?E?xn?x???n????是N*N自相关矩阵，是输入信号的自相关矩阵。

当矢量P和矩阵R己知时，可以由权系数矢量w直接求其解。

T最优解w0??w0?w1?wN?1??最小化MSE，可以由以下公式解得：

???0 (2.7)

?w?n?将式(2.5)对w求其偏导数并令该偏导等于零，假设矩阵R满秩矩阵，可解得最佳滤波系数为

w0?R?1?P (2.8)

所解出来的解就称为维纳解。均方误差(MSE)函数是滤波系数w的二次方程，将该函数在计算机上绘制成图形，就一个多维的抛物面。当矩阵R是正定矩阵时，该误差性能曲面就是一个碗状的抛物曲面，而且具有唯一的最小值点。当自适应滤波器的系数的最初的初始值是位于抛物曲面上某一点时，该点的数值是任意值，经过 它自己的自适应调节，使对应于滤波系数变化的点在抛物面上移动，朝抛物面最小点方向移动，最终到达抛物面的最小点，实现最佳的维纳滤波。

我们所说的自适应过程，就是通过在梯度矢量的负方向连续的校正滤波系数的，即在

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抛物面上沿着最陡下降法的方向移动，向最小点靠拢，逐步地校正滤波系数，最终到达抛物面的最小点，实现均方误差为最小，从而获得最佳滤波。其显著优点是它的简单性，不用进行复杂的计算。

LMS算法梯度??n?可以通过假设e2 (n)作为式(2.8)的MSE来预测。由梯度矢量的定义，梯度预测可以单一化为

?e2?n??e?n??2e?n??-2e?n?x?n? (2.9) ??n???w?n??w?n?在n时刻的滤波系数或权系数矢量为w(n)。按照最陡下降法，当互相关矢量P和相

关矩阵R已知时，梯度矢量??n?可以通过滤波系数矢量w(n)来计算，则在n+1时刻的滤波系数的更新值为：

w?n?1??w?n??2u?e?n??x?n? (2.10) u是自适应步长，是收敛因子，用来控制收敛率和稳定性。又

?E[?(n)]??(n) (2.11) 故LMS算法对性能函数梯度估计是无偏的。 滤波器的收敛因子u应该满足下列收敛条件

0?u?1???max (2.12)

?max为自相关矩阵R的最大特征值，且?max受限制于

?max?Tr?R???r?0??Nr?0? (2.13)

i?0N?12]为指示矩阵的轨迹。 r?0??E??x?n???是平均输入功率，Tr[·

在LMS算法中，每次梯度的估计值都是根据每次输入数据的样本来进行计算获得的，这样，关于输入数据的时间常数?Tmse?m就与算法均方误差的时间常数??mse?m相等，即

?Tmse?m???mse?m?14??m,m?0,1,2???M (2.14)

自适应滤波器的自学习过程的长短或收敛的快慢由时间常数的大小来决定，一般情况

m=01?M并不一定都相等。这样，各个权系数或各个模式的收敛速度并不相等。下，?m，

只有当各个权系数都收敛了，整个自适应滤波器才能收敛。

权向量想要获得收敛，只有当最缓慢的权集中于一点，这个最慢的时间

t?1??min (2.15)

若权矢量无噪声并收敛于维纳解，则均方误差达到最小，即?min。当权矢量出现随机噪声时，权矢量稳态解将平均“失解”于其维纳解，并造成过量均方误差，使稳态均方误差?ss大于最小均方误差?min。由式(2.14)我们可以得到过量平均均方误差为

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