人教版 高中数学 选修2-2练习：1.3.3函数的最大小值与导数含答案

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选修2-2 第一章 1.3 1.3.3

一、选择题

1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A．12；－8 C．12；－15 [答案] A

[解析] y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1；x＝－1时y＝12；x＝1时y＝－8.

∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.

2．(2014·北京东城区联考)如图是函数y＝f(x)的导函数f ′(x)的图象，则下面判断正确的是( )

B．1；－8 D．5；－16

A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 C．在(4,5)上f(x)是增函数 [答案] C

[解析] 由导函数y＝f ′(x)的图象知，f(x)在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x＝4是f(x)的极小值点，故A、B、D错误，选C.

3．(2014·安徽程集中学期中)已知函数f(x)(x∈R)满足f ′(x)＞f(x)，则( ) A．f(2)

f?2?f?0?

[分析] 所给四个选项实质是比较f(2)与e2f(0)的大小，即比较2与0的大小，故构造

eef?x?

函数F(x)＝x解决．

e

f ′?x?－f?x?f?x?

[解析] 设F(x)＝x，则F′(x)＝>0，

eex∴F(x)在R上为增函数，故F(2)>F(0)，

B．f(2)≤e2f(0) D．f(2)>e2f(0)

B．在(1,3)上f(x)是减函数 D．当x＝4时，f(x)取极大值

∴

f?2?f?0?>， e2e0即f(2)>e2f(0)．

4．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( ) 23A．

932C．

9[答案] A

[解析] f ′(x)＝1－3x2＝0，得x＝∵f?

3?23＝，f(0)＝f(1)＝0. ?3?9

23

. 9

3

∈[0,1]， 3

22B． 93D．

8

∴f(x)max＝

5．(2014·河南淇县一中模拟)设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( )

A．a>－3 1C．a>－

3[答案] B

3

[解析] y′＝aeax＋3，由条件知，方程aeax＋3＝0有大于零的实数根，∴0<－<1，∴

aa<－3.

6．(2014·开滦二中期中)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )

A．(0,1) C．(0，＋∞) [答案] D

[解析] f ′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)内有极小值，

∴在(0,1)内存在点x0，使得在(0，x0)内f ′(x)<0，在(x0,1)内f ′(x)>0，由f ′(x)＝0得，x2＝2b>0，

??b>01∴?∴0

2??2b<1，

B．a<－3 1

D．a<－

3

B．(－∞，1) 1

D．(0，)

2

7．(2014·抚顺市六校联合体期中)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2

－2x－3)f ′(x)>0的解集为( )

A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1,2)

C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞) [答案] D

[解析] 由f(x)的图象知，在(－∞，－1)上f ′(x)>0，在(－1,1)上f ′(x)<0，在(1，＋∞)上f ′(x)>0，

又x2－2x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x2－2x－3<0的解集为(－1,3)． ∴不等式(x2－2x－3)f ′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)． 二、填空题

x

8．(2014·三亚市一中月考)曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2

2x－1＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．

[答案] 22－1 [解析] y′|x＝1＝－

1

|＝＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，

?2x－1?2x1

圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，

∴所求最近距离为22－1.

9．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________． [答案] 6

[解析] f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，

f ′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f ′(2)＝0解得c＝2或6. 当c＝2时，f ′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)， 故f(x)在x＝2处取得极小值，不合题意舍去； 当c＝6时，f ′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12) ＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2处取得极大值． 三、解答题

10．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.

(1)求a、b的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．

[解析] (1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1

＋1＝4，

∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，

又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，f ′(x)＝3x2＋2ax＋b， 而由切线y＝3x＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，

???a＋b＝－2，?a＝2，?由解得? ?2a＋b＝0.???b＝－4，

∴a＝2，b＝－4.

(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， f ′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)， 2

令f ′(x)＝0，得x＝或x＝－2.

3

当x变化时，f(x)，f ′(x)的变化情况如下表： x f ′(x) f(x) －3 8 (－3，－2) ＋ 增 －2 0 极大值 2(－2，) 3－ 减 2 30 极小值 2(，1) 3＋ 增 1 4 295∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f()＝，

327又f(－3)＝8，f(1)＝4， ∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.

一、选择题

11．函数f(x)＝x4－4x (|x|<1)( ) A．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 [答案] D

[解析] f ′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)． 令f ′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1?(－1,1)， ∴该方程无解，

故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.

12．(2013·海淀区高二期中)函数f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为( )

B．有最大值，也有最小值 D．既无最大值，也无最小值