常微分方程建模训练

35. 一链条挂在一个无摩擦的钉子上，假定运动起始时，链条一边垂下8米，另一边垂下10米。问整个链条划过钉子需要多少时间？个人收集整理 勿做商业用途

36. 设曲线L位于第一象限，通过（1.5，1.5），其上任一点P处的切线总与y轴相交，交点

A。已知|PA|?|OA|，求曲线方程。个人收集整理 勿做商业用途

37.在上半平面求一条凸的曲线，其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数（Q为法线与x轴的交点），切曲线在（1，1）点出的切线与x轴平行。个人收集整理 勿做商业用途

38. 设曲线L的极坐标方程为r?r(?)，M(r,?)为L上的任一点，设M0(2,0)是L上的一定点。若极径OM,OM0与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L上M(r,?)和M0(2,0)两点间的弧长的一半。求曲线的方程。个人收集整理 勿做商业用途

39. 在某个人群中推广一种新技术是通过其中掌握了这项新技术的人进行的。该人群的总人数为N，在开始时已经掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t已经掌握新技术的人数为

x(t)，由于人数较多，可以将x(t)视为连续可微变量。如果x(t)的变化率与已掌握新技术

的人数和尚未掌握新技术的人数之积成正比，比例系数k?0。求x(t)的变化规律。个人收集整理 勿做商业用途

40. 从船上向大海沉方一科学测量仪器。按测量要求，需确定仪器下沉深度y（从海面算起）与下沉速度v之间的关系。设仪器在重力作用下垂直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。若仪器质量为m，体积为B，海水的比重为?，且仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数k?0，试建立y与v所满足的微分方程，并求函数关系式。个人收集整理 勿做商业用途

41. 一颗子弹以速度v0?200m/s打入一块厚为10cm的板子，穿透板时的速度为80m/s。设板对子弹的阻力与子弹速度的平方成正比。求子弹穿过板所用的时间。个人收集整理 勿做商业用途

42. 有一个30×30×12立方米的车间，空气中含有1.12%的二氧化碳，现用一台通风能力为每分钟1500立方米的鼓风机通入含有0，04%的二氧化碳的新鲜空气，同时用另一台同样通风能力的鼓风机把混合后的空气抽出。问鼓风机开动10分钟后，车间内的二氧化碳的百分比降到多少？个人收集整理 勿做商业用途

43. 有一 圆锥形容器，尖顶在下，底在上，顶角为2?(0???45?），高为H。今在顶部截去高为H0的小圆锥，使形成一小孔，先用木塞子将孔塞住，并在容器里灌满水，然后把塞子拔去，让水流出。设水流出的速率为v??2gh(0???1),h为该时水面与孔的高度差。问经过多少时间，水将流尽？个人收集整理 勿做商业用途 5 / 6

44. 沿水平方向作直线匀速飞行的麻雀的正上方50m 处有一只秃鹫，在麻雀的正下方100m 处有一只老鹰，鹫和鹰一起朝麻雀飞去捕食，并同时到达捕捉目标。设鹰的飞行速度是麻雀的2倍，问秃鹫的飞行速度是麻雀的多少倍？个人收集整理 勿做商业用途

45. 狗与其主人在岸边隔岸相对，河水以常速流动。狗以在静水中2km/小时的游速游向对岸，在全部游程中狗一直保持着朝主人的方向游去。如果狗游到河宽三分之二的地方才停止向下游漂流。又狗游过河的时间要比静水中过河多用5分钟，问河宽为多少？个人收集整理 勿做商业用途

46. 制导鱼雷试验场有相距70km的两个发射点B和C，设一模拟敌舰在B、C连线上某点处以速率v沿垂直于BC 的方向行驶，与此同时由B,C发出的制导鱼雷分别以5v和3v的速率一直对准敌舰追击，最终两鱼雷同时击中敌舰。求两鱼雷各自的运动轨迹。个人收集整理 勿做商业用途

6 / 6