微分方程习题及答案-常微分方程练习题及答案

2．求下列微分方程的特解 （1）y???4y??3y?0, y（2）y???25y?0, yx?0x?0?6, y?x?0x?0?10

?2, y?x?0?5

x?0（3）y???4y??13y?0, y

?2, y??3

3.设单摆摆长为l，质量为m，开始时偏移一个小角度?0，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移?随时间t变化的规律.

?l P mg 4. 圆柱形浮筒直径为0.5m ，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒周期为2s，求

x O x(t) 浮筒质量.。

5.长为6m的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为1m，问需多少时间链条全部滑过桌面.

O p(t) x

§7 二阶常系数非齐次线性微分方程

1.求下列微分方程的通解 （1）y???3y??2y?3xe?x； （2）y???5y??4y?3?2x；

（3）y???4y??xcosx；

（4）y???y?sin2x；

（5）y????y???2y??x(ex?4). 2．求下列微分方程的特解

（1）y???3y??2y?5, y(0)?6, y?(0)?2；

（2）y???y?sin2x?0, y(?)?1, y?(?)?1

3.设连续函数f(x)满足 f(x)?ex?? 0 (t?x)f(t)dt 求f(x).

x

4.一质量为m的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为，求此物体之运动规律. k）

O x(t) P

5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m，另一端离开钉子12m，若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间.

x(t)P O x

6.大炮以仰角?、初速v0发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线.

y p(t)?(x(t),y(t)) ? x

§8 欧拉方程及常系数线性微分方程组

1.求下列微分方程的通解

（1）x3y????x2y???2xy??2y?x3； （2）y???

2．求下列微分方程组的通解

y?y2?2?. xxx?dxdy?dt?dt??x?y?3（1）?

dxdy???x?y?3?dtdt

?d2x?2?3x?4y?0?（2）?dt2

dy??x?y?02?dt?

1.求下列微分方程的解。 （1）y?? 自测题

yy?tan； xx（2）ydx?(2x2y?x)dy?0；

（3）y??

y2y?2xy?x2；

（4）y???y??xsin2x.

2．求连续函数?(x)，使得x?0时有? 0 ?(xt)dt?2?(x). 3．求以y?(C1?C2x?x2)e?2x为通解的二阶微分方程.

4．某个三阶常系数微分方程 y????ay???by??cy?0有两个解ex和x，求a, b, c.

5．设y???p(x)y??f(x)有一个解为（1）p(x), f(x)的表达式； （2）该微分方程的通解.

6．已知可导函数f(x)满足关系式： ? 1 x 11，对应齐次方程有一特解x2，试求： xdt?f(x)?1求f(x).

f2(t)?1f(t)

7．已知曲线y?y(x)上原点处的切线垂直于直线x?2y?1?0，且y(x)满足微分方程

y???2y??5y?excos2x，求此曲线方程.