信息论作业

基于Vague熵的数学模型

（陈宣羽、信息与计算科学一班、201000810010107）

中文摘要：

为了讨论模糊信息处理等与模糊信息相关联的理论与技术，给出模糊信息的数学模型是很必要的。众所周知，几何可以表示概念，一个概念有其内涵与外延。内涵指的是所有符合此概念的对象所具有的共同属性，外延值得是符合此概念的那些对象的全体。外延实际上就是一个集合，集合的元素必须有共同的属性。 Chinese Abstract:

Is necessary in order to discuss the fuzzy information processing and fuzzy theory and technology of the information associated with the given mathematical model of fuzzy information. As we all know, the geometric concept can be expressed its intension and extension of a concept. The connotation is all consistent with this concept of the object has common attributes epitaxial worth is in line with this concept of all of those objects. Epitaxial is actually a collection of elements of the collection must have common attributes. 正文：

模糊集合模型

一、模糊集合的定义 设论域为X，x?X，称X为对象空间，我们感兴趣的是x的n个特性，用特征矢量（P1,P2,..,Pn） 表示。（P1,P2,..,Pn）所有可能的取值的集合，称为特性空间。隶属度函数?A(x)； X中的一个模糊集合A由隶属度函数?A(x=(P1,P2,...Pn)),x具有性质(P1,P2,..Pn)来描述。它是一个从定义在对象空间X上的特性空间到区间[0,1]的函数变换（映射）。 ?A(x=(P1,P2,...Pn))在x点的数值表示x在A中的隶属度。 ?A(x1)=0时，称为x1对A无隶属度；

?A(x1)=1时，称为x1对A满隶属度； ?A(x1)=-1时，称为x1对A较高隶属度；

因此一个模糊集合也可定义为：

令X是一个点集合，x是X中的一个元素，令P1,P2...Pn是x的n个感兴趣的特性，那么一个X中的模糊集合A为

A={(x,?A(x=(P1,P2,...Pn))|x?A,?A(x=(P1,P2,...Pn))为隶属度函数} 也即论域X上的模糊聚合A由隶属度函数?A(x)来表征。其中，?A(x)在实轴的闭区间[0,1]取值，?A(x)的值反映了X中的元素x对A的隶属度高。

例题1：设X={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}以A表示“小的数”，采用记号法，可将A表示为A=1/0+0.8/1+0.6/2+0.4/3+0.2/4+0/5+0/6+0/7+0/8+0/9+0/10 简记为 A=1/0+0.8/1+0.6/2+0.4/3+0.2/4 定义1：A,B如果对?x?X,均有

?A(x) =?B(x) 则称A和B相等，记为A=B。 定义2： A、B对?x?X,均有

?A(x) <=?B(x) 则称B包含A，或称A是B的子集，记为A?B。 定义3： A如对?x?X,均有

?A(x)=0

则称A为空集，记为?；?A(x)=1，则称A为全集，记为?。显然有??A??。 例题2：设X={x1,x2,x3,x4}

A=0.4/x1+0.2/小+0/x3+1/x4, B=0.3/x1+0/x2+0/x3+0/x4则因为0.3<0.4，0<0.2，0=0，0<=1,故B?A。

定义4：若A为论域X上的模糊集，称sup p A={x|?A(x)>0}为A的支撑集。 例题3：例题2中的A和B的支集分别为

sup p A={x1,x2,x4}

sup p A={x1}

二、模糊集合的运行算

(1) A 与B的交集记作A ?B，对任意x?X，均有

?(A?B)(x)= ?A(x)∧?B(x)=min(?A(x) ,?B(x)) (2) A 与B的交集记作A∪B，对任意x?X，均有

?(A?B)(x)= ?A(x)∨?B(x)=max(?A(x) ,?B(x)) (3)A的补集记作A*，任意x?X均有 ?A*(x)=1-?A(x)

“∧”和“∨”是两个运算符号，称为“查德与算子”和“查德或算子”，简称“与算子”和“或算子”，他们分别表示inf和sup（取下、上界问题）。关于上下界，做如下说明，首先给出次序关系，有序集合的概念。次序关系（<=）满足：

（1） x1,x2,?X,x1<=x2,且x2<=x1,则x1=x2;

（2） x1,x2,x3,?X,x1<=x2,且x2<=x3,则x1<=x3;

所有满足x1<=x2的序偶（x1,x2）的全体的集合就是次序关系<=,能定义次序关系的集合X，称为有序集合。

上确界：上界集合的最小元为上确界。上界：设（X,<=）是一有序集合，A?X，若x?X ，使对任意一y属于A，均有y≦x，则称x为A的上界，A的所有上界集和为集合B： B={x:x属于X且x是A的上界}

于是B的最小元为A的上确界。如B={x,x≧1},因B的最小元为1，即A的上确界为1.当元素有限时，“∧”，“∨”，则表示min和max（即取最小值，最大值）。

模糊集的运算的基本定理，设X为论域，A，B，C为X中的任意模糊子集，则满足幂等率、结合律、交换律、分配律、同一律、零一律、吸收律、德摩根率、双重否定率。但是需要注意的是：模糊集不满足互补律，即

A∩A*≠?， A∪A*≠?

这是因为min（?A(x)，1-?A(x)）在一般情况下不为零，而max（?A(x)，1-?A(x)）在一般情况下也不为1，除非?A(x)∈{0,1},互补律才能成立，这时模糊集退化为经典集。 模糊集不满足互补律的原因A