【冲刺实验班】山西太原市外国语学校2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析

19．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=则⊙O的直径等于 ．

，

【考点】KQ：勾股定理；MA：三角形的外接圆与外心．

【分析】连接AO并延长到E，连接BE．设AE=2R，则∠ABE=90°，∠AEB=∠ACB，∠ADC=90°，利用勾股定理求得AD=即2R=

=

=5

．

=

=4；再证明Rt△ABE∽Rt△ADC，得到

=

，

【解答】解：如图，

连接AO并延长到E，连接BE．设AE=2R，则 ∠ABE=90°，∠AEB=∠ACB；

∵AD⊥BC于D点，AC=5，DC=3，AB=∴∠ADC=90°，AD=

在Rt△ABE与Rt△ADC中， ∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠ACB， ∴Rt△ABE∽Rt△ADC， ∴

=

， =

=5．

； =

， =4；

即2R=

∴⊙O的直径等于

【点评】此题比较复杂，解答此题的关键是连接AO并延长到E．连接BE，作出⊙O的直径，再利用三角形相似解答．

20．如图所示，一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形，其中长方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是8、6、5，那么阴影部分的面积是：

．

【考点】@2：面积及等积变换．

【分析】设大长方形的长为a，宽为b，Ⅰ的长为x，宽为y，则Ⅱ的长为a﹣x，宽为y，Ⅲ的长为a﹣x，宽为b﹣y，阴影部分的长为x，宽为b﹣y，设有阴影的矩形面积为z，再根据等高不同底利用面积的比求解即可．

【解答】解：∵图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5， ∴

=

=

=，

∴===，

∴=，z=

=

．

∴S阴影=z=×故答案为：

．

【点评】此题考查的是长方形及三角形的面积公式，解答此题的关键是熟知等高不同底的多边形底边的比等于其面积的比．

21．如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F． （1）求证：BF=2FP；

（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．

【考点】K3：三角形的面积；KX：三角形中位线定理；S9：相似三角形的判定与性质．

【专题】14：证明题．

【分析】（1）如图1，连接PN，由中位线性质得到PN∥AB，且得到

，即可证得结论；

，则△ABF∽△NPF，

（2）如图2，取AF的中点G，连接MG，由中位线性质得到MG∥EF，AG=GF=FN．得到△NEF∽△NMG，则根据相似三角形面积的比等于相似比的平方和三角形同高面积的比等于底边的比得到S△NEF=S△MNG=×S△AMN=××S△ABC=【解答】（1）证明：如图1，连接PN， ∵N、P分别为△ABC边BC、CA的中点， ∴PN∥AB，且∴△ABF∽△NPF， ∴

∴BF=2FP．

（2）解：如图2，取AF的中点G，连接MG， ∴MG∥EF，AG=GF=FN．

∴△NEF∽△NMG，∴S△NEF=S△MNG =×S△AMN =××S△ABC =

S．

．

．

S．

【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：平行于三角形一边的直线截其它两边所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了三角形中位线的性质和同高的三角形面积的比等于底边的比．

22．已知如图，A是⊙O的直径CB延长线上一点，BC=2AB，割线AF交⊙O于E、F，D是OB的中点，且DE⊥AF，连接BE、DF． （1）试判断BE与DF是否平行？请说明理由； （2）求AE：EC的值．

【考点】M2：垂径定理；S4：平行线分线段成比例．

【专题】152：几何综合题；16：压轴题．

【分析】（1）一般判断的结论大多数是肯定的，但这个是否定的．如图过O作OM⊥EF，垂足为M，则EM=MF，容易知道DE∥OM，根据平行线分线段成比例可以求出AE：AF=3：5，不等于AB：AD，所以BE与DF不平行；

（2）要求AE：EC，不能直接求出．由于D是AC的中点，取AE的中点，利用中位线定理进行转换，连接DP．根据已知条件和平行线分线段成比例可以证明△EDP是等腰直角三角