数值分析复习题及答案

数值分析复习题

一、选择题

1. 3.142和3.141分别作为?的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4

22. 已知求积公式

?1f?x?dx?121f?1??Af()?f(2)636，则A＝（ ）

1112A． 6 B．3 C．2 D．3

3. 通过点

?x0,y0?,?x1,y1?的拉格朗日插值基函数l0?x?,l1?x?满足（ ）

＝0，

A．

l0?x0?l0?x0?l1?x1??0l1?x1??1 B．

l0?x0?l0?x0?＝0，

l1?x1??1l1?x1??1

C．＝1， D． ＝1，

4. 设求方程

f?x??0的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。

A．超线性 B．平方 C．线性 D．三次

?x1?2x2?x3?0??2x1?2x2?3x3?3??x?3x?225. 用列主元消元法解线性方程组?1 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.

?x2?x3?2?2x2?1.5x3?3.5?2x2?x3?3x2?0.5x3??1.5 A． B． C． D．

二、填空

?1. 设 x?2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x= .

f?x1,x2??2.设一阶差商

f?x2??f?x1?x2?x1?f?x3??f?x2?6?151?4??3f?x2,x3????2?1x3?x24?22

，

则二阶差商

f?x1,x2,x3??______

1

TX?(2,?3,?1)3. 设, 则||X||2? ，||X||?? 。

24．求方程 x?x?1.25?0 的近似根，用迭代公式 x?x?1.25，取初始值 x0?1， 那么 x1?______。

?y'?f(x,y)?y(x0)?y0y?______。5．解初始值问题 ?近似解的梯形公式是 k?1 ?11?A????51??，则A的谱半径 6、

＝ 。

7、设

f(x)?3x2?5, xk?kh, k?0,1,2,... , 。

，则

f?xn,xn?1,xn?2?? 和f?xn,xn?1,xn?2,xn?3??8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为 。

y?10?10、为了使计算成 。

123??x?1(x?1)2(x?1)3的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写

TX?(2,3,?4)11. 设, 则||X||1? ，||X||2? .

12. 一阶均差

f?x0,x1?? 13?3??3?C0?,C1?3??C2??3?C88，那么3? 13. 已知n?3时，科茨系数

14. 因为方程

f?x??x?4?2x?0在区间

?1,2?上满足 ，所以f?x??0在区间内有根。

15. 取步长h?0.1，用欧拉法解初值问题

??y?y?2?yx??y?1??1?的计算公式 .

**16.设x?2.40315是真值x?2.40194的近似值，则x有 位有效数字。

317. 对f(x)?x?x?1, 差商f[0,1,2,3]?( )。

T||X||??X?(2,?3,7)18. 设, 则 。

2

19.牛顿—柯特斯求积公式的系数和k?0(n)C?k?n 。

20. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字.

?l(x),l(x),?,l(x)0,1,?,n01n21. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则i?022. 设f (x)可微，则求方程x?f(x)的牛顿迭代格式是( ).

(k?1)(k)X?BX?f收敛的充要条件是 。 23. 迭代公式

nili(x)?( ).

(k?1)(k)x?Bx?f中的B称为( ). 给定方程24. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式

?9x1?x2?8?组?x1?5x2??4，解此方程组的雅可比迭代格式为(

25、数值计算中主要研究的误差有 和 。

)。

26、设

nlj(x)(j?0,1,2n)是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则

lj(xi)? (i,j?0,1,2n)；

?l(x)?jj?0 。

27、设

lj(x)(j?0,1,2n)是区间[a,b]上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ；插值

型求积公式中求积系数

Aj? ；且?Aj?0nj? 。

28、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式为 。

2f(x)?x?1,则f[1,2,3]?_________,f[1,2,3,4]?_________。 29、

30.设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有 位有效数字。

3设 f(x)?x?x?1,则差商(均差)f[0,1,2,3]? ，f[0,1,2,3,4]? 。 31.

32.求方程

x?f(x)根的牛顿迭代格式是 。

?12?A???34??,则A?? , A1? 。 33.已知

3

34. 方程求根的二分法的局限性是 。 三、计算题

19f(x)?x, x0?, x1?1, x2?44 1．设

?19??4,4?f?x??上的三次Hermite插值多项式??x?使满足（1）试求 在 ?32H(xj)?f(xj), j?0,1,2,... H'(x1)?f'(x1)，

??x?以升幂形式给出。

（2）写出余项 R(x)?f(x)?H(x)的表达式

2．已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使

0，1…收敛？

?y'?f(x,y)h'''?y?y?(yn?1?4yn?ynn?1n?1?1)y(x)?y00?33． 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式：

（提示： 利用Simpson求积公式。）

4． 利用矩阵的LU分解法解方程 组

?x1?2x2?3x3?14??2x1?5x2?2x3?18?3x?x?5x?203?12

y?5. 已知函数

11?x2的一组数据：

的近似值.

求分段线性插值函数，并计算

f?1.5??10x1?x2?2x3?7.2???x1?10x2?2x3?8.3??x?x?5x?4.2236. 已知线性方程组?1（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）于初始值

X????0,0,0?0，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算X?1?（保留小数点后五位数字）.

3?1,2?之间的近似根 7. 用牛顿法求方程x?3x?1?0在

（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.

1dx?01?x8. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.

1 4