浙江专用2020高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语函数与导数不等式第2讲函数图象与性质教案

第2讲 函数图象与性质

函数及其表示 [核心提炼]

1．函数的三要素

定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．

2．分段函数

若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

[典型例题]

?x，0

?a??2（x－1），x≥1，

A．2

2

B．4 C．6 D．8

??m＋x，|x|≥1，

(2)设函数f(x)＝?的图象过点(1，1)，函数

?x，|x|<1?

g(x)是二次函数，若函数

f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是( )

A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．[0，＋∞)

B．(－∞，－1]∪[0，＋∞) D．[1，＋∞)

【解析】 (1)当01，f(a)＝a，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， 因为f(a)＝f(a＋1)，所以a＝2a， 1

解得a＝或a＝0(舍去)．

4

?1?所以f??＝f(4)＝2×(4－1)＝6.

?a?

当a>1时，a＋1>2，

所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， 所以2(a－1)＝2a，无解．

当a＝1时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意．

?1?综上，f??＝6.故选C. a??

??m＋x，|x|≥1，

(2)因为函数f(x)＝?的图象过点(1，1)，所以m＋1

?x，|x|<1?

2

??x，|x|≥1，

＝1，解得m＝0，所以f(x)＝?画出函数

?x，|x|<1.?

2

y＝f(x)的图象(如图所示)，由于函数

g(x)是二次函数，值域不会是选项A，B，易知，当g(x)的值域是[0，＋∞)时，f(g(x))的值

域是[0，＋∞)．故选C.

【答案】 (1)C (2)C

(1)在求分段函数的函数值时，一定要注意自变量的值属于哪个区间，再代入相应的解析式求解．当自变量的值不确定时，要分类讨论．

(2)对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．

[对点训练]

ln（x＋1）

1．函数f(x)＝的定义域是( )

x－2A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．[－1，2)∪(2，＋∞) D．(－1，2)∪(2，＋∞)

???x＋1>0，?x>－1，ln（x＋1）

解析：选D.要使f(x)＝有意义，需使?即?

x－2?x－2≠0，??x≠2，?

所以函数f(x)的定义域为(－1，2)∪(2，＋∞)．故选D. 2．(2019·宁波市九校期末联考)已知下列各式： ①f(|x|＋1)＝x＋1； ②f(

1

)＝x； x＋1

22

2

③f(x－2x)＝|x|； ④f(|x|)＝3＋3.

其中存在函数f(x)对任意的x∈R都成立的是( ) A．①④ C．①②

2

x－xB．③④ D．①③

解析：选A.①f(|x|＋1)＝x＋1，由t＝|x|＋1(t≥1)，可得|x|＝t－1，则f(t)＝(t－1)＋1，即有f(x)＝(x－1)＋1对x∈R均成立；

②f(

11

)＝x，令t＝2(0＜t≤1)，x＝± x＋1x＋1

22

2

1

t－1，

2

2

对0＜t≤1，y＝f(t)不能构成函数，故不成立；③f(x－2x)＝|x|，令t＝x－2x，若t＜－1时，x∈?；t≥－1，可得x＝1±1＋t(t≥－1)，y＝f(t)不能构成函数；④f(|x|)＝

3＋3，当x≥0时，f(x)＝3＋3；当x＜0时，f(－x)＝3＋3；将x换为－x可得f(x)＝3＋3；故恒成立．综上可得①④符合条件．

函数的图象及应用 [核心提炼]

图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)，

x－xx－xx－xx－xy＝－f(x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．

考向1 函数图象的变换与识别

[典型例题]

(1)函数y＝sin x的图象是( )

2

(2)(2019·宁波九校模拟)已知函数f(x)＝

1

，则y＝f(x)的图象大致为( )

x－ln x－1

【解析】 (1)由于函数y＝sin x是一个偶函数，选项A、C的图象都关于原点对称，所π

以不正确；选项B与选项D的图象都关于y轴对称，在选项B中，当x＝±时，函数y＝sin

2

2

x2<1，显然不正确，当x＝±

(2)由于f(e)＝

π2

时，y＝sin x＝1，而2ππ

<，故选D. 22

1112

＞0，排除D.由于f()＝e＞0，排除B.由于f(e)＝2＜f(e)，故e－2ee－3

函数在(1，＋∞)为减函数，排除C，所以选A.

【答案】 (1)D (2)A 考向2 函数图象的应用

[典型例题]

已知f(x)＝2－1，g(x)＝1－x，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当

|f(x)|

x2

A．有最小值－1，最大值1 B．有最大值1，无最小值 C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值

【解析】 由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，而h(x)＝

??|f（x）|，|f（x）|≥g（x），? ?－g（x），|f（x）|

故h(x)有最小值－1，无最大值． 【答案】 C

(2)函数图象的应用 ①判断函数的性质．

②判定方程根的个数及不等式的解．

[对点训练]

1．(2019·绍兴一中模拟)函数y＝

3

x3

的图象大致是( )

x4－1

解析：选A.因为y＝

3

x3

，所以函数y＝

3

x3x4－1

是奇函数，图象关于原点对称，故排

x4－1

除C；当x＜－1时，恒有y＜0，故排除D；－1＜x＜0时，y＞0，故可排除B；故选A.