2020年湖南省郴州市高考数学二模试卷(文科)含答案解析

（2）设数列{

}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜．

【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）根据题意确定出等差数列{an}的公差与首项，即可确定出通项公式； （2）由等差数列的前n项公式表示出数列{

}，进而表示出数列{

}的前n项和为Tn，

确定出Tn范围即可． 【解答】（1）解：∵等差数列{an}的公差d≠0，a1=6，且a2，a7，a22成等比数列， ∴（a1+6d）2=（a1+d）（a1+21d），即（6+6d）2=（6+d）（6+21d）， 解得：d=4或d=0（舍去），

则an=6+4（n﹣1）=4n+2（n为正整数）； （2）证明：∵Sn=6n+∴

=

，

}的前n项和Tn=﹣（＞0，

+

），

×4=2n2+4n=2n（n+2），

∴数列{∵

+

∴Tn＜， ∵Tn+1﹣Tn=（∴Tn≥T1=， 则≤Tn＜．

19．△AMC1如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为A的正三角形，点M在边BC上，是以M为直角顶点的等腰直角三角形． （1）求证：直线A1B∥平面AMC1； （2）求三棱锥C1﹣AB1M的高．

﹣

）＞0，即{Tn}是递增数列，

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）根据等腰直角三角形，可得AM⊥C1M且AM=C1M，根据三垂线定理可知AM⊥CM，而底面ABC为边长为a的正三角形，证得点M为BC边的中点，连接A1C，交

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AC1于点N，连接MN，则N为A1C的中点，可得MN∥A1B，即可证明直线A1B∥平面AMC1； （2）利用

=

，求三棱锥C1﹣AB1M的高．

【解答】（1）证明：∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ∴AM⊥C1M且AM=C1M

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴CC1⊥底面ABC ∴C1M在底面内射影为CM，AM⊥CM． ∵底面ABC为边长为a的正三角形， ∴点M为BC边的中点

连接A1C，交AC1于点N，连接MN，则N为A1C的中点 ∴MN∥A1B，

∵MN?平面AMC1，A1B?平面AMC1，∴A1B∥平面AMC1； （2）解：设三棱锥C1﹣AB1M的高为h， ∵AM⊥平面B1BCC1，∴∴

=，∴h=

a．．

，

20．已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值是12．

（1）求f（x）的解析式； （2）是否存在实数m，使得方程

在区间（m，m+1）内有且只有两个不等的实

数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数与方程的综合运用． 【分析】（1）根据二次函数小于0的解集，设出解析式，利用单调性求得最大值，解出待定系数．

（2）将方程等价转化h（x）=0，利用h（x）的导数判断其单调性，利用单调性判断h（x）=0的根的情况． 【解答】解：（1）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），∴可设f（x）=ax（x﹣5）（a＞0）．

∴f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值是f（﹣1）=6a．

由已知得6a=12，∴a=2，∴f（x）=2x（x﹣5）=2x2﹣10x（x∈R）． （2）方程

等价于方程 2x3﹣10x2+37=0．

设h（x）=2x3﹣10x2+37，则h'（x）=6x2﹣20x=2x（3x﹣10）． 在区间

时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；

上，h'（x）＞0，h（x）是增函数，

）是极小值．

在区间（﹣∞，0），或故h（0）是极大值，h（

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∵

∴方程h（x）=0在区间

，

内分别有惟一实数根，故函数h（x）在（3，

4）内有2个零点． 而在区间（0，3），（4，+∞）内没有零点，在（﹣∞，0）上有唯一的零点． 画出函数h（x）的单调性和零点情况的简图，如图所示． 所以存在惟一的自然数m=3，使得方程同的实数根．

在区间（m，m+1）内有且只有两个不

21．已知椭圆

的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为

，过点

F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△AF1B的周长为． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）若过定点M（0，﹣2）的动直线l与椭圆C相交P，Q两点，求△OPQ的面积的最大值（O为坐标原点），并求此时直线l的方程． 【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）由题意可得：，解得即可得出；

（2）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．与椭圆方程化为（2+3k2）x2﹣12kx+6=0， 利用根与系数的关系可得：|PQ|=

．原点O到直线l的距

离d=

．利用S△OPQ=即可得出．

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【解答】解：（1）由题意可得：，解得a=

，c=1，b2=2．

∴椭圆C的标准方程为．

（2）由题意可知：直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．

，化为（2+3k2）x2﹣12kx+6=0，

联立

∴x1+x2=

，x1x2=．

|PQ|==

=．

原点O到直线l的距离d=．

∴S△OPQ=

=×=．

令3k2﹣2=t2（t＞0）， ∴S△OPQ=∴

22．已知函数

，

=

．

=

，当且仅当t=2，即

时取等号．

（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间； （2）若

恒成立，求实数ab的最大值．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件． 【分析】（1）求导数，利用x=1是函数f（x）的极大值点，确定a的范围，即可得到函数f（x）的单调递减区间；

（2）构造函数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论．

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