数学分析教案 (华东师大版)第十二章 数项级数

《数学分析》教案

由证明数列

有界性可见 , . 余和

亦为型级数,

余和 与 同号, 且

.

例1 判别级数

解 ,

时 , 由Leibniz判别法, 发散.

的敛散性.

收敛;

时, 通项

二. 绝对收敛级数及其性质 :

1. 绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz级数为例, 先说明 收敛

收敛.

绝对

Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) ,

收敛.

证 ( 用Cauchy 准则 ).

一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛.

例2 判断例1中的级数绝对或条件收敛性 .

2. 绝对收敛级数可重排性 :

⑴ 同号项级数 ： 对级数

，令

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《数学分析》教案

则有 ⅰ>

和

均为正项级数 , 且有 ,

.

和

;

ⅱ>

⑵ 同号项级数的性质:

Th 3 ⅰ> 若

， 则

，

.

ⅱ> 若 条件收敛 , 则 , .

证 ⅰ> 由

ⅱ> 反设不真 , 即

.由

= .而

和

和= ,

, ⅰ> 成立 .

中至少有一个收敛 , 不妨设以及

,与

和

, 收敛 ,

条件收敛矛盾 .

⑶ 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念.

Th 4 设且

=

.

是

的一个更序 . 若

, 则

,

证 ⅰ> 若 互相控制.于是 ,

，则

, ,

和

是正项级数 , 且它们的部分和可以

, 且和相等 .

ⅱ> 对于一般的

.正项级数

由

和

=

分别是正项级数和

, 和

= 的更序 .

, 据Th 1 , 收敛 . 由上述ⅰ>所证 , 有

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, =

.

, 且有

=

,

=

,

由该定理可见 , 绝对收敛级数满足加法交换律 .是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的 .

Th 5 ( Riemann ) 若级数) , 存在级数

的更序

条件收敛 , 则对任意实数 ( 甚至是 , 使得

= .

证 以Leibniz级数

为样本 , 对照给出该定理的证明 .

关于无穷和的交换律 , 有如下结果:

ⅰ> 若仅交换了级数

的有限项 , 的敛散性及和都不变 .

ⅱ> 设过

是的一个更序 . 若 和

, 使 在

中的项数不超

,则共敛散 , 且收敛时和相等 .

三. 级数乘积简介:

1. 级数乘积 : 级数乘积 , Cauchy积. [1] P20—21.

2．级数乘积的Cauchy定理:

Th 6 ( Cauchy ) 设=

, , 并设

=

,

. 则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛 , 且乘积级数的和为 . ( 证略 )

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例3 几何级数

是绝对收敛的. 将

按Cauchy乘积排列, 得到

.

四. 型如

的级数判敛法：

1．Abel判别法：

引理1 （分部求和公式，或称Abel变换）设 组实数.记

. 则

和

（

）为两

.

证 注意到 , 有

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