（理科）（大纲版）2012年全国统一高考数学试卷答案与解析

考点： 不等式比较大小． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=解答： 解：∵x=lnπ＞lne=1， 0＜log52＜log50＞，即可得到答案． =，即y∈（0，）； 1=e＞=＞=，即z∈（，1）， ∴y＜z＜x． 故选D． 点评： 本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题． 10．（5分）（2014?包头一模）已知函数y=x﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（ ） A．﹣2或2 B． ﹣9或3 C． ﹣1或1 D． ﹣3或1 考点： 利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系． 专题： 计算题． 分析： 求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值． 解答： 解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1） 令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1； ∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减 ∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值 3∵函数y=x﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点 ∴极大值等于0或极小值等于0 ∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0 ∴c=﹣2或2 故选A． 点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0． 11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） A．12种 B． 18种 C． 24种 D． 36种 考点： 排列、组合及简单计数问题． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由题意，可按分步原理计数，根据题设中的规则可分六步解决这个问题，分别计算出每一步的填法种数，再由分步原理即可得到总的排列方法 解答： 解：由题意，可按分步原理计数， 第一步，第一行第一个位置可从a，b，c三字母中任意选一个，有三种选法， 第二步，第一行第二个位置可从余下两字母中选一个，有二种选法 第三步，第二行第一个位置，由于不能与第一行第一个位置上的字母同，故其有两种填法 第四步，第二行第二个位置，由于不能与第一行第二个字母同也不能第二行第一个字母同故它只能有一种填法 第五步，第三行第一个字母不能与第一行与第二行的第一个字母同，故其只有一种填法， 3

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第六步，此时只余下一个字母，故第三行第二列只有一种填法 由分步原理知，总的排列方法有3×2×2×1×1×1=12种 故选A 点评： 本题考查计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理，准确审题正确得出每一步的填法种数也很关键，计数问题是高考的热点，本题需要考虑的因素较多，计数较复杂，有难度． 12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，

，动点P从E出发沿直线向

F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（ ） 16 14 12 10 A．B． C． D． 考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的一般式方程． 专题： 作图题；压轴题． 分析： 通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可． 解答： 解：根据已知中的点E，F的位置，可知第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，且CG=作图， 可以得到回到E点时，需要碰撞14次即可． 故选B． ，第二次碰撞点为H，且DH=， 点评： 本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可，属于难题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）

13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为 ﹣1 ．

考点： 简单线性规划． 专题： 计算题． 分析： 作出不等式组表示的平面区域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可求 6

解答： 解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示 由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小 结合图形可知，当直线z=3x﹣y过点C时z最小 由故答案为：﹣1 可得C（0，1），此时z=﹣1 点评： 本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础试题 14．（5分）（2014?武汉模拟）当函数y=sinx﹣

cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x= ．

考点： 三角函数的最值；两角和与差的正弦函数． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π），即可求得y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x的值． 解答： 解：∵y=sinx﹣∵0≤x＜2π， ∴﹣≤x﹣＜， =， cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）． ∴ymax=2，此时x﹣∴x=． ． 故答案为：点评： 本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣

cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin（x﹣

）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题． 7

15．（5分）若

的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中

的系数为 56 ．

考点： 二项式系数的性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通项可求满足条件的系数 解答： 解：由题意可得， ∴n=8 展开式的通项令8﹣2r=﹣2可得r=5 此时系数为=56 = 故答案为：56 点评： 本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力． 16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

．

考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可 解答： 解：如图，设=，，，棱长均为1， 则∵∴=||=，，=（﹣|=|=+=，= ）?（+）=﹣++﹣+ =﹣1++1=1 === = ∴cos＜，＞=== ∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 8