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2020-2021学年普通高等学校招生全国统一仿真模拟试题数学(理)试题(北京卷,含解析)

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普通高等学校招生全国统一考试

数学(理)(北京卷)

本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

(1)已知集合A=B=,则

(A) (B)

(C) (D) (2)若x,y满足 ,则2x+y的最大值为

(A)0 (B)3 (C)4 (D)5

(3)执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为

(A)1 (B)2

(C)3 (D)4

(4)设a,b是向量,则“IaI=IbI”是“Ia+bI=Ia-bI”的

(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)已知x,yR,且xyo,则 (A)- (B) (C) (-0 (D)lnx+lny

(6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为

(A) (B) (C) (D)1

(7)将函数图像上的点P( ,t )向左平移s(s﹥0) 个单位长度得到点P′.若 P′位于函数的图像上,则

(A)t= ,s的最小值为 (B)t= ,s的最小值为 (C)t= ,s的最小值为 (D)t= ,s的最小值为

(8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中, (A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 (B)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

(C)乙盒中红球不多于丙盒中红球 (D)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.

(9)设aR,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=_______________。 (10)在的展开式中,的系数为__________________.(用数字作答) (11)在极坐标系中,直线与圆交于A,B两点, 则 =____________________.

(12)已知为等差数列,为其前n项和,若 ,,则.

(13)双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2,则a=_______________.

(14)设函数

①若a=0,则f(x)的最大值为____________________;

②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是_________________。

三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15)(本小题13分)

在?ABC中,a?c?b?2ac (I)求?B 的大小

(II)求2cosA?cosC 的最大值

(16)(本小题13分)A、B、C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时); A班 B班 C班 6 6.5 7 7.5 8 6 7 8 9 10 11 12 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 333(I) 试估计C班的学生人数; (II) 从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙,假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;

(III)再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ,表格中数据的平均数记为 ,试判断 和的大小,(结论不要求证明)

(17)(本小题14分) 如图,在四棱锥

P-ABCD

中,平面

PAD

? 平面ABCD,

PA?PD ,PA=PD,AB?AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5 ,

(I)求证:PD?平面PAB;

(II)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;

(II I)在棱PA上是否存在点M,使得BMll平面PCD?若存在,求由。

(18)(本小题13分)

AM 的值;若不存在,说明理AP设函数f(x)=xeea?x +bx,曲线y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4, (I)求a,b的值; (I I) 求f(x)的单调区间。

(19)(本小题14分)

X2y23已知椭圆C:2?2?1 (a>b>0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面

2ab积为1.

(I)求椭圆C的方程;

(I I)设P的椭圆C上一点,直线PA与Y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N。 求证:lANlg lBMl为定值。

(20)(本小题13分)

设数列A:a1 ,a2 ,…aN (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak <an ,则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G(A)是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。 (I)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出G(A)的所有元素; (I I)证明:若数列A中存在an使得an>a1,则G(A)? ? ;

(I I I)证明:若数列A满足an-an?1 ≤1(n=2,3, …,N),则G(A)的元素个数不小于aN -a1。

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