高中版论文：方程组思想解题例题版

用方程组解运动学中的题目

金贺浩

（太和第二中学 安徽 太和 236600）

摘要：本文通过分析高中物理的精确独到分析，采用方程组思想和公式推导的方法，解决各种“盘根错节”的、错综复杂的、纠缠不清的，对建立物理继续学习的信心有极大帮助，对物理学领悟较少的同学有特殊疗效，对苦于束手无策的教师提供有益参考。 关键词:匀变速直线运动;公式推导;规律;

摘要：本文借助高中物理的运动学部分的经典题，采用一题多解的方法，综合利用方程组思想和函数思想解决各种“疑难杂症”，对建立物理继续学习的信心有极大帮助，对物理学领悟较少的同学有特殊疗效，对苦于束手无策的教师提供有益参考。

关键词:匀变速直线运动;公式推导;规律;

许多学生感觉物理和数学中的应用题难做，那是因为他们还未对物理学进行深度思考总结，其实高中的物理题就是由基本公式参与构成的解方程组和函数分析问题。只要掌握列方程解题的基本步骤，再难的物理题都可以化为解方程组的问题，从而实现学生思维上质的突破，不再对应用题惧怕，站在战略的角度即利用方程组思想使之养成良好的解题习惯与必胜的信心，形成统一的解题思路与技巧，实现战略战术的完美整合（重组与结合）。

方程组思想，顾名思义，就是通过列方程组解决问题。当一个题目含较多量时，即涉及到的量（包括已知的与未知的）较多较复杂时，常常采用的方法。此法特别适合学习有困难者，可以极其快速地实现成绩提升以及建立极强的自信心 。

这与化学计算类似，先写出每一个化学反应的方程式，采取“铁板一块”的整体战略，而不是看成孤立的过程，所有的量都是紧密结合起来的，是息息相关的。物理的运动学、动力学同化学配平相同，不管三七二十一，根据每一句话列出等式，再组合起来就是解决盘根错节、纠缠混乱问题的良方——“快刀斩乱麻”，这是较高效的“万能药方”——“对症下药”，是解决错综复杂问题的金钥匙。采取中医的“综合疗法”，而非西方的过度量化的冷酷的冷冰冰的“头痛医头、脚痛医脚”法，最明显的“不战而驱敌之兵”的整体代换法， 先看下面的例题：

1.从一楼到六楼，某人站着不动时乘扶梯用时间t1；当扶梯因故障“罢工”不动时，某人行走用时t2,为了赶时间,某人在扶梯向上运动时，人也向上行走,求用时t。

解析：以地面为参考系，设人的速度v1,电梯的速度v2,人与电梯都向上运动时速度为v,则满足v?v1?v2,设位移是x（不变量）,v1?xxxxxx,v2?,v? 即可得??, t1t2tt1t2ttt111化简为??或t?12.

tt1t2t1?t22．一船在上游与下游之间往返，顺流时用时4h, 逆时用时6h，则漂流时用时多少？

解析：设船在静水中速度为v船（或v静），流水的速度为v水，依题意，列出

v顺?v船?v水①v逆?v船-v水②v漂?v水?1(v顺?v逆)③ 2由S路程不变，则S?v顺t顺?v逆t逆?v漂t漂，

也改写成v船?v水?S/t顺或v船?v水?S/t逆或v水?(v顺-v逆)/2?S/t水. 联立①②③,解得2S/t漂?S/t顺-S/t逆，化简为2/t漂?1/t顺-1/t逆， 即t漂?2t逆t顺/(t逆-t顺)?2?6?4/(6-4)h?24h.

3．地震有速度为v纵的纵波和v横的横波，某人巧合房子在震源的正上方，他感到房子上下和左右方向的振动时间间隔为?t，求他离震源的距离S。

解析：不变量为s，先听到的时间是t1，后来听得的时间是t2，则

S?v纵t1?v横t2①，?t?t2?t1②，

联立①②，建立关于已知与未知量的方程，

?t?S/v横-S/v横，解得S??tv横v横v横-v横。

4.某人为了估测云层的高度，在地面做一次爆破实验，离爆炸地点s处听到两次传来的爆炸声的相隔时间是?t，声速v，求云层的高度。

解析：设云层的高度是h,先听到的时间是t1，后来听得的时间是t2， 则直线传播的距离是s?vt1①，

反射声波即传播的距离（即折线的长度）d?vt2②，?t?t2?t1③， 由勾股定理（s）?h?(）④， 未知量用已知量（或待求量）表达，

1222d22sss?t1，t2??t?t1??t?，d?vt2?v(?t?)?v?t?s这样相当vvv12于减少未知数（消元或摆脱隐变量——中介、经纪人），最后汇总代入“母舰”、“根据地”，转化为最简洁的终极表达式——已知量与待求量的直接面对面“巅峰对决”，即联立①②③，代入④，建立关于已知与待求量量的方程，s?4h?d，即s?4h?(v?t?s)解得4h?2vs?t?(v?t)，（v?t?S）（-S）?h， 即h?2222222222212v?ts?v2?t2.检验：从单位上看，量纲正确. 2例题一：宇航员在某行星上从高度32m处自由释放一重物，测得在下落最后1s通过的距离为14m。则重物下落的时间和该星球的重力加速度分别是多少？

例题二：一条3m长的细软绳子两端各系一石块，拿着上端的石块站在桥上并使石块与桥面相平，另一端自然下垂于桥面下，放手后石块自由下落，二石块落水相隔0.2s，问桥面离水面多高？

例题三：小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后的10min到达对岸下游120m处；若船头保持与河岸成?角度向上游航行，在出发后12.5min时到达正对岸，求：⑴水流的速度；⑵船在静水中的速度；

⑶河的宽度；⑷船头与河岸的夹角?.

我们可以看到，例题有几个问题，一般学生认为它们很难，可能写了一大堆算式或公式，或陷入“鬼打墙”——逻辑混乱，很像鸡生蛋与蛋生鸡问题；或根本入不了“门槛”——不知如何下手，很像作茧自缚、画地为牢。究其原因，就在于他们已形成的思维定势，非要一个接一个的按顺序解题目罗列的问题，这便是症结所在。我们要打破常规，不能按套路出牌。

方程组思想的精髓就是问什么就设什么未知数，甚至多设一些未知量，为了能用更基本的公式或更一般的规律列方程组，这特别适合思维或基础有困难的学生。要把整个题目所有的物理量都看作一个统一整体，极像是快刀斩乱麻。要从每一句话、每个数据中找到可能对应的一个方程，通常几个未知量对应几个方程，写多了可能有等价式或其中一些可从其他算式中推出即冗余；写少了一般又解不出来。这不需要任何特殊的思维，最原始最繁杂的解法多数时候又是最简单最聪明的解法，类似大智若愚、笨方法又是最简洁、最巧妙、最高效的解法。

现就设未知数的方法举例。

如在例题1中：设重物下落的时间为t，该星球的重力加速度为g，已知h?32m，h?14m由题意列方程得，

'12gt（t与h对应） ① 21h?h'?g(t?1)2 （t?1与h?h'对应）②

2h?这里仅仅利用了自由落体的最基本、最简单的公式，学生很容易理解并掌握。

在例题2中：设桥面离水面高为h,下端的石块自由下落到水面用时为t，已知细软绳子长度l?3m,时间间隔?t?0.2s，由题意列方程得，

112gt①h?g(t??t)2② 22多设了未知量t，是为了能更好地用最基本的公式，实现自由落体问题中变量t与h的“双簧戏”组合。 在例题3中：设水流与船在静水中的速度的速度分别为v水与v船，河的宽度为d，已知s?100m，t1?10min，

s120t2?12.5min。由等时性和对立性，可列方程组得，v水??m/s?0.2m/s①

t110?60d?v船t1② h?l?d?v合t2③

解方程组的方法如下：就是联立所有方程，先找准一个待求的量，再通过加减乘除逐步有目的、有计划地削减、减少未知数，最后简化到剩下只含该待求变量的一个方程，即可找到解方程组的突破口，其他未知量也就会如兵败如山倒，就像一个天大的谜团突然真相大白，一宗极其复杂的案件突然水落石出。即先各个击破，再步步为营，最后一气呵成。其方法简单在于不需要用特殊、复杂的规律以及在盘根错节的关系网中理清各种关系，只要先设出未知数，再根据数据或是能列方程的语句只要利用基本公式列方程组，最后联立方程解出即可。 上面的例题方程组解法如下：

例题1：由于加减无法消去任何一变量，转而采用乘除中的除法，即②/①,得

h?h'11?g(t?1)2/(gt2) ,化简得， h22t?113t?1232?149()?? ，?1?? t3216tt41从而得t?s?4s，将其带入①，

31?42h2?32?2?2m?s?4m?s得g?2? 2t4例题2：联立①②，②-①，消去h，得

1l?g(2t?t??t2)③

22l?t230.2由此解得,t???(?)s?1.4s,

2?tg2?t0.2?1021122将其带入①，得h?g(t??t)??10?(1.4?0.2)m?12.8m

22例题3：题目中有几小问，倘若各个击破那就如同抽丝剥茧或陷入一个死循环，很难在错综复杂的语境中与

盘根错节的关系中保持清醒和淡定。与其拆卸“铁板一块”，反而不如将计就计，而把它们看做一个不可分割的有机整体，“浑水摸鱼”反而问题能迎刃而解，开放思想就能拨云见日，撩开神秘面纱，解开层层悬疑，使之豁然开朗。 ②/③,得

v合v船1043??0.8（突破口）即sin??，cos???0.6， 12.555v水v0.21??m/s， 由cos??水得，v船?cos?0.63v船1进而d?v船t1??10?60m?200m.

3这很像是“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”，“山穷水尽疑已无路，柳暗花明又一村”，从黑暗走向光明。

?sin??t1， t2

使成绩平平甚至学习有困难的一记良药与猛药,使其在”久病”(坐晕车,浑浑噩噩,迷迷糊糊)或漫长的黑夜(一直稳居倒数)之后可以重见光明,如拨云见日、醍醐灌顶、久旱逢甘露，顶上被压的泰山终于可以卸掉了，如获重释，推翻了三座大山的压迫，以迅雷不及掩耳之势，实现人的突变与质变。 再看几个例子。

例题4：甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v－t图象如图所示。两图象在t＝t1时相交于P点，P在横轴上的投影为Q，ΔOPQ的面积为S。在t＝0时刻，乙车在甲车前面，相距为D．已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′，则下面四组t′和d的组合可能是（ ）

11t1，d?S 243111''B．C．t?t1，d?S D．t?t1，d?S

2242解法一：由题意，甲乙满足关系x甲?x乙?d，

1'2且x甲?v甲t'，x乙?a乙t.

21''2即v甲t?a乙t?d.

212由图像得OPQ三角形的面积S?a乙t1,交点P说明此时速度相等，即v甲?a乙t1,

22S2S解得a乙?2,v甲?a乙t1?,再带入位置关系方程,得

t1t12S'12S'2t?t?d,化简为 t12t122d2t'?2t1t'?t1?0

Sd2d2??(2t1)2?4t't1?4t1(1?)?0,.解得

SSdd1??0,?1即得d?S

SS1ddt'?(2t1?2t11?)?t1(1?1?).

2SS3d13d1当d?S时, 1??，1?1??或 ,

24S4S213''得第一次相遇时t?t1（选B），第二次相遇时t?t1.

22A．t'?t1，d?S B．t?'

解法二：

例题五：甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现，甲经过短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需要在接力区前适当的位置标记。在某次练习中，甲在接力区前s0=13.5m处做了标记，并以的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令后时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为L=20m，求： ⑴此次练习中乙在接棒前的加速度a；

⑵在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。 解：⑴接棒时满足两个条件：速度相等与相遇，即 s甲?s0?s已①

v?at②

联立①②得vt?s0?12at③ 2要我们求乙在接棒前的加速度a，必然联立上述两式，消去变量t，由②得t?v， avv212v2其中s甲?vt?v?，s已?at?带入③，得

aa22av2v2v292?s0?④可解得a??m/s2?3m?s?2， a2a2s02?13.5v9?1进而可求得t??m/s?3m?s

a3v2v2?s0和s甲??2s0， ⑵联立③④，可得s已?2aa在完成交接棒时乙离接力区末端的距离

s?L?s已?L?s0?20m?13.5m?6.5m

从文中可以感悟到解题同打仗的道理是一样的，那就是要有自己的一套战略战术，用科学的兵法思想武装头

脑，不能勇而无谋，乘匹夫之勇，如同兵败垓下的项羽。战争准备是行动，可以说是为下面战争而布局就要做到有备无患，“知己知彼，百战百胜”，不能“破罐子破摔”，得过且过，“兵来将敌，水来土掩”。做题就要像练太极拳那样，以柔克刚，借力打力，见招拆招，如何矛盾都可以轻易化解，重重迷雾必将烟消云散。堡垒总是容易从内部攻破突破甚至不攻自破，像榕树那样对“敌人”采用“联合绞杀”的策略，类似“农村包围城市”的步步为营的围剿战略。“分化瓦解、各个击破”是上策，同样，对待难题，要有内外夹攻的态势，一方面从外围全面敲打、进攻，发现有用信息，找到薄弱点，了解敌人——题目。另一方面，从内部挖掘“志同道合者”——再使用函数法、方程法等数学思想“援助”物理，内外夹攻，定能所向披靡，战无不胜。

当“退”后面有追兵，“进”前面有悬崖，进退两难，暂时别管它要我们求什么，不要“直接硬碰硬”，先避其锋芒，采用“曲线救国”的迂回战略战术，初步观察，看看、试试能求出什么，并把已求出来的当作已知条件，即你问你的，我求我的，如同矮矬子“呼延平”的战术，顺理成章地扩大自己的“根据地”，增大自己的“已知边界”，能更好的逐步接触到“核心问题”答案，逐步缩小“包围圈”，步步紧逼，不断“得寸进尺”，最终找到“突破口”，突破封锁，一旦解出第一个解，就打开了“潘多拉的魔盒”，如同“羊群效应”，其它的解则呼之欲出。迎刃而解，在和稀泥的浑水中蠢蠢欲动，不能自拔，欲罢不能，进退维谷，似是而非的，扩大战果，赢得一个又一个的不断的胜利，节节胜利，旗开得胜，势如破竹，秋风扫落叶。一切疑云将要烟消云散。乘胜追击，

最后总结解题的具体步骤如下：

第一步，读题，写出所有涉及到的量，未知的用字母表示，已知的写出数值及其对应代号。

第二步，分析过程，用方程组思想解题。做理科题，先分析整个过程包含的细节、情景、子过程，在脑海中串联成一整幅图景，并想象整个过程，根据题意画出图像（运动图，受力图、v?t）。 第三步，写出已知量（包括符号及其数值）与未知量（符号），通过各量间的联系（根据每一句话、每个子过程），能联系已知与未知的量的方程尽可能多的都列写出来。

第四步，研究方程组，采用步步为营、各个击破的策略，化简到只含一个未知量的方程，就能找到一个突破口，所有问题都能会迎刃而解。