（word完整版）向量知识点总结，推荐文档

向量知识点总结

一、教学要求：

1. 理解向量（平面向量、空间向量）的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念，掌握向量的加法、减法，掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。了解向量的基本定理，掌握向量的数量积及其几何意义，了解用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题，理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。

2. 理解向量（平面向量、空间向量）的坐标的概念，掌握向量的直角坐标运算及两点间的距离公式。

3. 掌握线线的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。 二、知识串讲：

平面向量及其运算

（一）向量的基本运算 1. 有关概念

（1）向量——既有大小又有方向的量叫做向量。 常用有向线段表示向量

??方向向量二要素???长度

?? （2）向量的模—有向线段的长度|AB|，|a| ??a长度等于1的向量叫做单位向量，a0??|a|

??? 零向量0（0的方向不定），|0|?0

（3）共线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量叫做平行向量或共线向量。

??长度相等??（4）相等的向量——?a?b?方向相同?

?? 规定：0?0

向量可以在平面（或空间）平行移动而不变。 规定：零向量与任一向量平行。 2. 向量有三种形式（或三种表示）

几何表示????几何运算代数表示????代数运算

1

坐标表示????坐标运算

3. 向量的加法、减法与数乘

（1）向量的加法——三角形法则或平行四边形法则 如图：

向量加法的多边形法则

???如图，求a?b?c

（2）向量的减法： ??????a?b?a?(?b)，即向量a加上b的相反向量。

??（a?b的箭头指向被减向量）

（3）实数与向量的乘积

????长度|?a|?|?|·|a|???方向：??0时与a同向?????a???????0时与a反向??a∥a????????0时，?a?0????

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4. 向量的运算法则（加、减、数乘）

??? 设向量a，b，c及实数?，?，则：

???? ①a?b?b?a

?????? ②(a?b)?c?a?(b?c)

???③(???)a??a??a

???? ④?(a?b)??a??b

?? ⑤|?a|?|?|·|a|

?????? ⑥|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

（此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式。）

5. 平面向量基本定理（向量的分解定理）

???e1，e2是平面内的两个不共线向量，那么对该平面内任一向量a，存在

???唯一实数对?1，?2，使得a??1e1??2e2。

（这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一对向量的

??????和。?1e1??2e2叫做向量e1，e2的线性组合，e1，e2叫做表这一平面内所 有向量的一组基底。

?①基底不唯一，关键是不共线??? ?②基底给定，分解形式唯一? 应用：

??设OA，OB不共线，点P在直线AB上（即A、B、P三点共线）

????OP??OA??OB且????1（?，??R）

??????※b∥a（a?0）?存在唯一实数?，使b??a

（二）向量的坐标运算

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??1.在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴同方向的两个单位向量i，j作为基 ????底，则该平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a?xi?yj， ??称（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a?(x，y)，即为向量的坐标表

示。

???（如图，当把向量a的起点移至原点时，（x，y）是向量a?OA终点A的

??坐标，即Ax，y，x，y是向量a在x，y轴上的射影，与a相等的向量的坐标??

也相同。）

2. 向量的坐标运算

?? 已知a?(x1，y1)，b?(x2，y2)，??R

??????则：（1）a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)

????x1?x2?i??y1?y2?j

?x1?x2，y1?y2??

??（2）a?b?x1?x2，y1?y2，设Ax1，y1，Bx2，y2??????

???BA?a?b?x1?x2，y1?y2??

|AB|??x1?x2?2??y1?y2?2

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