2010中考数学压轴题选编

【答案】（1）当点E与点A重合时，x=0，y=

12×2×2=2；

当点E与点A不重合时，0＜x≤2． 在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°， ∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF．

∵AM=DM，∠AMF=∠DMF，∴△AME≌△DMF，∴ME=MF．

22在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=x?1．∴EF=2MF=2x?1． 过点M作MN⊥BC，垂足为N（如图）．则∠MNG=90°， ∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM． ∴∠AME+∠EMN=90°．

∵∠EMG=90°，∴∠GMN+∠EMN=90°，∴∠AME=∠GMN， ∴Rt△AME∽Rt△NMG， AMMEME1??， ∴，即NMMGMG2∴MG=2ME=2x2?1， 1122∴y=EF·MG=×2x?1×2x?1=2x2+2，

222

∴y =2x+2，其中0≤x≤2． （2）点P运动路线的长为2．

11.（10山东青岛）24．（本小题满分12分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．

如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

2

（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）

A A A D D P Q B C E ） （ F B E C F B 图（3）

C

图（1） 图（2）

解答：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，

∴AP = AQ.

∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，

∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°， ∴∠EQC = 45°.

∴∠DEF =∠EQC. ∴CE = CQ.

由题意知：CE = t，BP =2 t， ∴CQ = t. ∴AQ = 8－t.

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm . 则AP = 10－2 t. ∴10－2 t = 8－t. 解得：t = 2.

答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上.

（2）过P作PM?BE，交BE于M，

∴?BMP?90?.

ACPM在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB?， ?ABBPPM88 ∴? . ∴PM = t.

2t105 ∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.

11118 ∴y = S△ABC－S△BPE =BC?AC－BE?PM= ?6?8－??6?t??t

222254244842=t2?t?24 = ?t?3??. 55554∵a??0，∴抛物线开口向上.

584∴当t = 3时，y最小=.

5842

答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm. ···· 8分

5 （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.

过P作PN?AC，交AC于N， ∴?ANP??ACB??PNQ?90?.

A ∵?PAN??BAC，∴△PAN ∽△BAC.

PNAPAN∴. ??D BCABACPN10?2tAN∴. ??P N Q 610868B F E C ∴PN?6?t，AN?8?t. 55图（3）

∵NQ = AQ－AN，

83∴NQ = 8－t－(8?t) = t．

55∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上， ∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ. ∵∠FQC = ∠PQN， ∴△QCF∽△QNP .

636?ttPNNQ55??∴ . ∴ . FCCQ9?tt66?t5?3 ∵0?t???? ∴

9?t5解得：t = 1.

答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上.

12分

12.（10湖南常德）26.如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.

1.当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

2.当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M. ①求证：AG⊥CH;

②当AD=4，DG=2时，求CH的长。 A B

F E G

D

A

F E G

D

A

H F M D

E C

图110

B 图11

C

B

C

图12

解：（1）AG?CE成立．

?四边形ABCD、四边形DEFG是正方形， ∴GD?DE,AD?DC,

∠GDE?∠ADC?90?.

∴∠GDA?90°-∠ADE?∠EDC.

……………2分

B 图11

H G

……………3分

A

1 D

F M P E 2 B

图12

C C

……………1分

A

G F E D

∴△AGD?△CED. ∴AG?CE.

（2）①类似（1）可得△AGD?△CED， ∴∠1＝∠2

…………………4分

又∵∠HMA＝∠DMC.

∴∠AHM?∠ADC＝90?. 即AG?CH.

…………………5分

② 解法一: 过G作GP?AD于P, 由题意有GP?PD?2?sin45??1,

GP1?. ………6分 AP3DM1 而∠1＝∠2，∴tan∠2＝＝tan∠1＝.

DC348 ∴DM? ，即AM?AD?DM?.

33 ∴AP?3，则tan∠1＝

222…………………7分

24104?? 在Rt?DMC中，CM?CD?DM＝4???＝,………8分 33??

AHAM而?AMH∽?CMD,∴, 即AH?3, ?DCCM441038∴AH?410. 5 …………………9分

再连接AC，显然有AC?42,

∴CH?AC2?AH2??42?

2?410?810. ?????5?5??2 所求CH的长为

810. 5 …………………10分

H G A

1 D

F M P E 2 解法二：研究四边形ACDG的面积 过G作GP?AD于P,

由题意有GP?PD?2?sin45O?1, ∴AP?3,AG ?10. ………………8分

B

图12

C

而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1,

S?AGD?S?ACD?S四边形ACDG?S?ACG?S?CGD,

∴4×1+4×4=10×CH+4 ×1.

∴CH=810.

5 ………………10分