导数中的任意性与存在性问题探究

例6：已知函数f(x)?1349x?cx?x2?3x?,g(x)??，若对任意x1,x2?[?2,2]，都有332f(x1)?g(x2)，求c的范围.

解：因为对任意的x1,x2?[?2,2]，都有f(x1)?g(x2)成立，

∴[f(x)]max?[g(x)]min，∵f'(x)?x2?2x?3，令f'(x)?0得x?3,x??1x＞3或x＜-1；f'(x)?0得?1?x?3；∴f(x)在[?2,?1]为增函数，在[?1,2]为减函数. ∵f(?1)?3,f(2)??6，∴[f(x)]max?3,.∴3?? 〈七〉、\f(x1)?f(x2)|?t\（t为常数）型；

例7 ：已知函数f(x)??x4?2x3，则对任意t1,t2?[?18?c，∴c??24。 21,2]（t1?t2）都有 2|f(x1)?f(x2)|?____恒成立，当且仅当t1=____，t2=____时取等号.

解：因为|f(x1)?f(x2)|?|[f(x)]max?[f(x)]min|恒成立，

由

[f(x)]min1f(x)??x4?2x3,x?[?,2]，易求得[f215?f(?)??，∴|f(x1)?f(x2)|?2。

216(xm)a?]x3f?227(，)16例8 ：已知函数y?f(x)满足：(1)定义域为[?1,1]；(2)方程f(x)?0至少有两个实根?1和

1；(3)过f(x)图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.

(1)证明|f(0)|?1|；

(2)证明：对任意x1,x2?[?1,1]，都有|f(x1)?f(x2)|?1. 证明 (1)略；

(2)由条件(2)知f(?1)?f(1)?0，

不妨设?1?x1?x2?1，由(3)知|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|?x2?x1，

又∵|f(x1)?f(x2)|?|f(x1)|?|f(x2)|?|f(x1)?f(?1)|?|f(x2)?f(1)|

?x1?1?1?x2?2?(x2?x1)?2?|f(x1)?f(x2)|；∴|f(x1)?f(x2)|?1

〈八〉、\f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|\型

例

?(0,9： 已知函数f(x)?x?ax?b，对于x1,x25

333x?)1(x时)有总2

|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|成立，求实数a的范围.

解 由f(x)?x3?ax?b，得f'(x)?3x2?a，

当x?(0,3)时，a?f'(x)?1?a，∵|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|， 3?a??1f(x1)?f(x2)∴||?1， ∴???1?a?0

x1?x21?a?1?评注 由导数的几何意义知道，函数y?f(x)图像上任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2)连线的斜率k?y2?y1(x1?x2)的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围，

x2?x1利用这个结论，可以解决形如

|f(x1)?f(x2)|?m|x1?x2||或

|f(x1)?f(x2)|?m|x1?x2|(m＞0)型的不等式恒成立问题.

6