2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题及答案

（1）当n?12时，显然，k的值是11；

（2）当n?3,4,5,6,7时，k的值分别为1，2，3，4，5；

（3）当n?8,9,10,11时，k的值分别为7，8，9，10. …………（10分）

综上所述，当3?n?7时，凸n边形最多有n?2个内角等于150°；当8?n?11时，凸n边形最多有n?1个内角等于150°；当n?12时，凸n边形最多有12个内角等于150°；当n?12时，凸n边形最多有11个内角等于150°。. ……（15分）

14（甲）．解：由于x1，x2，　，?x2012都是正整数，且x1?x2???x2012，所以

x1≥1，x2≥2，…，x2012≥2012．

于是 n?122012122012?2012． ≤????????2012x1x2x201212…………（5分）

当n?1时，令x1?2012，x2?2?2012，　，?x2012?2012?2012，则

122012?????1. x1x2x2012…………（10分）

当n?k?1时，其中1≤k≤2011，令 x1?1 ，x2?2，　，?xk?k，xk?1?(2012?k)(k?1),xk?2?(2012?k)(k?2)，x2012?(2012?k)?2012，则

1220121?k?1?n． ?????k?(2012?k)?x1x2x20122012?k，　2，　，　?2012． 综上，满足条件的所有正整数n为1…………（15分）

1614（乙）.解：当n?2?1时，把2，　3，　，?n分成如下两个数组：

　3，　，2　2?1，　?，　2?1?和?4，　5，　?，　2?1?． ?2，　3，　，2　2?1，　?，　2?1?中，由于3?2（在数组?2，，2）?2881688816388216?1，

b，c，使得ab?c． 所以其中不存在数a，　5，　?，　28?1中，由于4?2?1， 在数组4，第- 13 -页 共14页

??48所以其中不存在数a，b，c，使得ab?c． 所以，n?216． 下面证明当n?216时，满足题设条件．

不妨设2在第一组，若2?4也在第一组，则结论已经成立．故不妨设2?4在第二组． 同理可设4?2在第一组，(28)2?216在第二组．

此时考虑数8．如果8在第一组，我们取a?2，b?8，c?28，此时ab?c；如果8在第二组，我们取a?4，b?8，c?216，此时ab?c． 综上，n?216满足题设条件．

所以，n的最小值为2．

（注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536．）

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