四川省成都市石室中学2020届高三上学期入学考试考数学(文)试题 Word版含解析

【解析】 【分析】

在折叠前图1中，AM?BD，垂足为N，设图1中A在线段BC上的射影为M，当运动点D与点C无限接近时，折痕BD接近BC，此时M与点M1无限接近，得到BM1?BM，在图2中，根据直角三角形的斜边大于直角边，得到BM?AB，即可求解．

【详解】由将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A?BCD，且A在底面BCD的射影M在线段BC上，

如图2所示，AM?平面BCD，则AM?BD， 在折叠前图1中，作AM?BD，垂足为N，

在图1中过A作AM1?BC于点M1，当运动点D与点C无限接近时，折痕BD接近BC，此时M与点M1无限接近，

在图2中，由于AB是直角?ABM的斜边，BM为直角边，所以BM?AB， 由此可得BM1?BM?AB,

因为?ABC中，AB?23,BC?26,?ABC?450，

由余弦定理可得AC?23,所以BM1?(23)2?(6)2?6， 所以6?BM?23 由于BM?x，所以实数x的取值范围是故选B．

?6,23，

?

【点睛】本题主要考查了平面图形的折叠问题，其中解答中由平面图形的折叠前和折叠后，根据运动点D的位置和直角三角形的性质求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．

x2y212.设双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的左，右顶点为A,B,P是双曲线上不同于A,B的

ab一点，设直线AP,BP的斜率分别为m,n，则当最小值时，双曲线C的离心率为（ ） A. b?2?3?mn???2mn?3?lnm?lnn?取得a?3?3?1 2B. 5 2C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】

2222ybx?a2设P(x0,y0)，可得y0?b2(02)，得到mn?202?2，代入已知条件，得到

x0?aaab?2b2b3b2bb?3?mn?2mn?3lnm?lnn?3???()?2??6ln?t?0，得，设????2a?3a3aaaa?到f(t)?3t?小值，即

23t?2t2?6lnt，利用导数求得函数单调性，得到t?2时，函数f?t?取得最3b?2，再由离心率的公式，即可求解． ax2y2【详解】由双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?，则A(?a,0),B(a,0)，

ab2222x0y022x0?a设P(x0,y0)，则2?2?1，可得y0?b()， aba22y0y0y0b2,n??， 则m?，所以mn?2x0?ax0?ax0?a2a2b?2b?2b2?b2b2?所以?3?mn??2mn?3?lnm?lnn???3??2??2?2?3ln2

a?3a?3a?aa?b2b3b2b?3???()?2?2?6ln，

a3aaa设

b2?t?0，则f(t)?3t?t3?2t2?6lnt， a3262t3?4t2?3t?6(t?2)(2t2?3)则f?(t)?3?2t?4t??， ?ttt当t?(0,2)时，f??t??0，f?t?单调递减； 当t?(2,??)时，f??t??0，f?t?单调递增， 所以当t?2时，函数f?t?取得最小值，

即当

b?2b?3?mn?2mn?3lnm?lnn?2， 取得最小值时，????a?3a?ca2?b2b2所以双曲线的离心率为e???1?2?5，故选D． 2aaa【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，以及利用导数求解函数的单调性与最值的应用，其中解答中根据双曲线的性质，得到关于

b的函数，利用导数求解是解a答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中

x?________．

【答案】4. 【解析】 【分析】

根据茎叶图，求得甲组数据的众数是23，乙组数据的中位数为可求解．

【详解】由题意，根据茎叶图可得，甲组数据的众数是23，乙组数据的中位数为因为甲的众数与乙的中位数相等，所以

22?(20?x)，列出方程，即

222?(20?x)，

222?(20?x)?23，解得x?4．

2【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的众数、中位数的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

14.已知圆C:?x?4???y?2??r2截y轴所得的弦长为22，过点?0,4?且斜率为k的直

22线l与圆C交于A、B两点，若AB?22，则k?________．

【答案】

3 4【解析】 【分析】

由圆中弦长运算可得：r2?(2)2?42?18，

由点到直线的距离公式可得：【详解】解：由题意有r2?(2)2?42?18， 由已知可设直线方程l为y?kx?4， 设圆心（4,2）到直线l的距离为d， 则18?d2?(2)2， 即d?4， 则4k?21?k2?4，解得k?， 3. 4故答案为：

【点睛】本题考查了圆中弦长的运算及点到直线的距离公式，属中档题.

15.已知抛物线y?4x的一条弦AB经过焦点F，O为坐标原点，点M在线段OB上，且

2的1?k24k?2?4，运算可得解.

34OB?3OM，点N在射线OA上，且ON?3OA，过M、N向抛物线的准线作垂线，垂足

分别为C、D，则CD的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】