高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第1讲 空间中的平行与垂直学案

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解析 由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1， 又CF?平面ACC1A1，所以B1D⊥CF. 要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可． 令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x. 易知Rt△CAF∽Rt△FA1D， 得

ACA1FA1D＝

AF，即＝，

3a－xa2ax整理得x2－3ax＋2a2＝0， 解得x＝a或x＝2a.

9. (2017·江苏)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC.

证明 (1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD， 则AB∥EF.

∵AB?平面ABC，EF?平面ABC， ∴EF∥平面ABC.

(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥平面ABD.

∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.

∵AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B， ∴AD⊥平面ABC，又AC?平面ABC，∴AD⊥AC.

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10.如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，△GAD为等边三角形，BF⊥平面ABCD，∠GDC＝90°，点P为线段GD的中点．

(1)求证：AP⊥平面GCD； (2)求证：平面ADG∥平面FBC.

证明 (1)∵△GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，∴AP⊥GD.

∵AD⊥CD，GD⊥CD，且AD∩GD＝D，AD，GD?平面GAD，故CD⊥平面GAD， 又AP?平面GAD，故CD⊥AP， 又CD∩GD＝D，CD，GD?平面GCD， 故AP⊥平面GCD.

(2)∵BF⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴BF⊥CD， ∵BC⊥CD，BF∩BC＝B，BF，BC?平面FBC， ∴CD⊥平面FBC，

由(1)知CD⊥平面GAD，∴平面ADG∥平面FBC.

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B组 能力提高

11.如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，

B，C，D?直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是________．(填序

号)

①当CD＝2AB时，M，N两点不可能重合；

②M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交；

③当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交； ④当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行． 答案 ②

解析 由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，

CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACDB是平行四边形，因此AC∥BD，而BD?β，AC?β，所以由线面平行的判定定理可得AC∥β，又因为AC?α，α∩β＝l，所以由线面平行的性质定理可得AC∥l，故②正确．

12．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是________．(填序号)

答案 (1)

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解析 对于(1)，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交， ∴直线AB与平面MNQ相交； 对于(2)，作如图②所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，

又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；

对于(3)，作如图③所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ，

又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ， ∴AB∥平面MNQ；

对于(4)，作如图④所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥NQ，

∴AB∥NQ，又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ， ∴AB∥平面MNQ.

故四个正方体中直线AB与平面MNQ不平行的是(1)．

13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，点E，F分别在棱BB1，CC1上(均异于端点)，且∠ABE＝∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1.

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