高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第1讲 空间中的平行与垂直学案

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由已知点P是CD中点，点Q是A1B1中点可以证得， 四边形AQB1R，PRB1C1都为平行四边形， 所以AQ∥B1R，B1R∥PC1，所以AQ∥PC1， 因为AQ?平面PBC1，PC1?平面PBC1， 所以AQ∥平面PBC1.

(2)因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1为长方体，BC＝CC1， 所以B1C⊥BC1，

因为A1B1⊥平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C， 所以A1B1⊥BC1，

因为A1B1∩B1C＝B1，A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C， 所以BC1⊥平面A1B1C，

又因为BC1?平面PBC1，所以平面A1B1C⊥平面PBC1.

思维升华 证明面面平行或面面垂直的关键是寻找线面平行或线面垂直，充分体现了转化与化归思想．

跟踪演练3 如图，在四面体ABCD中，AD＝BD，∠ABC＝90°，点E，F分别为棱AB，

AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD.

(1)求EFBC的值；

(2)求证：平面EFD⊥平面ABC.

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(1)解 因为平面EFG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG＝EG，平面ABD∩平面BCD＝BD， 所以EG∥BD，

又G为AD的中点，所以E为AB的中点， 1同理可得，F为AC的中点，所以＝.

BC2(2)证明 因为AD＝BD，

由(1)知，E为AB的中点，所以AB⊥DE， 又∠ABC＝90°，即AB⊥BC， 由(1)知，EF∥BC，所以AB⊥EF， 又DE∩EF＝E，DE，EF?平面EFD， 所以AB⊥平面EFD，

又AB?平面ABC，所以平面EFD⊥平面ABC.

EF

1．(2018·江苏)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.

求证：(1)AB∥平面A1B1C； (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.

证明 (1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1. 因为AB?平面A1B1C，

A1B1?平面A1B1C，

所以AB∥平面A1B1C.

(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， 四边形ABB1A1为平行四边形．

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又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形， 因此AB1⊥A1B.

又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以AB1⊥BC.

又因为A1B∩BC＝B，A1B，BC?平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC. 因为AB1?平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.

2．(2018·江苏南京师大附中模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.

(1)求证：AB∥EF；

(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD. 证明 (1)因为四边形ABCD是矩形， 所以AB∥CD.

又AB?平面PDC，CD?平面PDC， 所以AB∥平面PDC，

又因为AB?平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF， 所以AB∥EF.

(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD. 因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF， 所以AB⊥AF， 又AB⊥AD，

由点E在棱PC上(异于点C)，所以F点异于点D，

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所以AF∩AD＝A，AF，AD?平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 又AB?平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD.

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