导数在数列中的应用

导数在数列中的应用

韩金芳

（数学系数学与应用数学 青海省西宁市 810000）

摘 要：导数是解决函数问题的有力工具，更为数学解题注入了新的活力。由于数列可看做特殊的函数，所以自然可联想尝试应用导数知识解决数列问题。

关键词：导数 数列 应用 函数

The application of derivative

in the series

Abstract ：The derivative is a powerful tool for solving function problems, more mathematical problem solving has injected new vitality. The series can be seen as special function, so natural can associate try derivative to solve the series of problems.

Key words ： Derivative；series；application；function

一．导数的概念

1、定义：f'(x)?limf(x)?f(x0)?yf(x??x)?f(x) ?lim?lim?x?0?x?x?0x?x0?xx?x0左导数：f?'(x)?lim??x?0f(x)?f(x0)?yf(x??x)?f(x) ?lim??lim??x?0x?x?x?xx?x00f(x)?f(x0)?yf(x??x)?f(x)?lim??lim?

x?x0?x?x?0?xx?x0右导数： f?'(x)?lim??x?0?f'(x)?A?f?'(x)?f?'(x)?A

可以证明：可导?连续 即：可导是连续的充分条件

连续是可导的必要条件

?yf(x??x)?f(x)导函数：f(x)?y'?lim ?lim?x?0?x?x?0?x

二．导数在数列问题中的应用

1.利用导数确定数列的最大或最小项

例1 已知数列{an}的通项an=8x2?x3,n?N+,求数列{an}的最大项 解：构造辅助函数f(x)=8x2?x3(x>0),则0

f'x?=16x-3x2 显然，当

161616时，f'?x?>0,当x>时，f'(x)<0,故f(x)在区间（0,）上是增函数，3331616在区间（,+?）上是减函数，所以当x=时，函数取最大值。

33对于n?N+,f(n)=8n2?n3,f(5)=75,f(6)=72,所以f(n)的最大值是75，即数列{an}的最大项为a5=75.

2.利用导数研究数列的增减性

例2 设定以在R上的函数f(x)与数列{an}满足：a1>a,其中a是方程f(x)=x的实数根，an?1?f?an?,f(x)可导，且f'?x??（0,1）.

（1） 证明：an>a,(1)判定an与an?1的大小关系，并证明 证明（1）由已知a1>a,即n=1时，an>a成立. (2)设n=k时 ak>a

因为f'(x)>0，所以f(x)是增函数，所以ak?1=f(ak)>f(a) 又由题设可知 f(a)=a，所以ak?1?ak 即n=k+1时，命题成立. 由（1）（2）知 n?N+时，an>a成立.

(2) 要比较 an,an?1的大小，即比较an和f(an)的大小，构造辅助函数g(x)=x-f(x)，则g'(x)=1-f'(x)>0,故g(x)是增函数，所以当an>a时，g（an）>g(a)，又因为g(a)=a-f(a)=0,g(an)=an?f?an?，所以an?f?an?>0，故an?f?an?即ak?ak?1 3.利用导数求数列前n项和

例3 求数列1,2x,3x2,...nxn?1,... 前项的和 sn .

解：当x=1时，sn=1+2+3+…+n=x+2x+

3x21n?n?1? 当x?1时，因2+…+xn=

x?xn?11?xn，两边求导数，得

1+2x+3x+…+n-x综上可知：

2n?11??n?1?xn?xn?1=1-(n+1)x+

?1?x?21??n?1?xn?nxn?11当 x=1时，sn?n?n?1?,当x?1时，sn? 22?1?x?4．利用导数证明数列不等式 例4 若an??2??Tn?2n???2? ??n11?n1??t?n? 其中t?[,2],Tn是数列{an}前n项的和，求证：2?t?2 证明： 构造辅助函数 f(t)=

11?n1?,2] 则?t?n?,t?[

2?t?2f'(t)=

n?n?11?1''?t?n?1?. 当?t?1时 f(t)<0 当10 2?t?2故f(t)在[

1,1]上递减，在[1,2]上递增 2所以 f?t?max=f(

11?1?1?1?)=f(2)=?2n?n? 即an=??2n?n? 所以

2?2?2?2?21?1???11Tn??2?22?...?2n???2?...?n??2?2???22???2?1?1???2n??1?n??2n????2?2??2?n

说明这里需要证明 ：

?1?11?111?1221?1??2?12??2??22??2?1?nnn?1?2?? ??1?n????1?12?22??22n2?2??222??2nn2nn1?1?1?2?? 所以命命题的证. ??1?n??n???2?2?2???225. 导数在数列求和中的应用 例5 x?1 ，求下列数列之和

n （1）1?2x?3x2?...?nxn?1 （2）1?22?32x2?...?n2xn?1

22222n?2?c3x?c4x?...cnx （3）c2 分析 （1）由(xk)'?kxk?1(k?1,2,...,n) 可设f'(x)?1?2x?3x2?...?nxn?1 则f(x)?1?x?x2?x3?...xn

1?xn?1 而 1?x?x?x?...?x?(x?1)

1?x23n 上式两端对x求导，并整理得 1?2x?3x?...?nx2n?11?(n?1)xn?nxn?2 [1] ?2(1?x) （2） 比较（1），（2）两式中的通项可发现，只需对[1]两端同乘以x，再对x求导 便可得到： 1?2x?3x?...?nx2n?2 （3） 由 cnx?2222n?11?x?(n?1)2xn?(2n2?2n?1)xn?1?n2xn?2 ?(1?x)2n(n?1)n?21x?(nxn?1)2 可知只需对[1]式两端继续求22导便可得到： 2?3?2x?4?3x2?...?n(n?1)xn?2

2?(n2?n)xn?1?2(n2?1)xn?(n2?n)xn?1 =

(1?x)2 ? c?cx?cx?...?cx22232422nn?22?(n2?n)xn?1?2(n2?1)xn?(n2?n)xn?1 ?32(1?x)三．数列是特殊的函数（导数的应用）

1. 函数的单调性与导数 例1 已知函数f(x)=x3-ax-1.

（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出 a的取值范围；若不存在，说明理由.

解析 （1）由已知f'(x)=3x2-a.因为f(x)在R上是单调增函数， 所以f′(x)=3x2-a≥0在R上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立. 又因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为当a=0时，f′(x)=3x2≥0,