2015-2016学年高中数学 第二章 随机变量及其分布单元综合检测 新人教A版选修2-3

P

0.6 0.4 E(ξ)＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2， E(η)＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.

5x＋10y≤60，??8x＋2y≤40，

(3)由题设知?x≥0，

??y≥0.

x＋2y≤12，??

即?4x＋y≤20，??x≥0，y≥0.

目标函数为z＝xE(ξ)＋yE(η)＝4.2x＋2.1y.

作出可行域(如图)：作直线l：4.2x＋2.1y＝0，

将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝4.2x＋2.1y取最大值．

??x＋2y＝12，解方程组?

??4x＋y＝20.

得x＝4，y＝4，即x＝4，y＝4时，z取最大值，z的最大值为25.2.

20．(本题满分12分)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6、0.5、0.5，假设各盘比赛结果相互独立．

(1)求红队至少两名队员获胜的概率；

(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)． [解析] (1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F， 则D、E、F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件． 因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，

由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5. －

红队至少两人获胜的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF.

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由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为

P＝P(DE F)＋P(D EF)＋P(DEF)＋P(DEF)

＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意知ξ可能的取值为0、1、2、3.

又由(1)知D EF、DE F、D E F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，

P(ξ＝1)＝P(D EF)＋P(DEF)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5

＋0.6×0.5×0.5＝0.35.

P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.

由对立事件的概率公式得

P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.

所以ξ的分布列为：

ξ 0 0.1 1 0.35 2 0.4 3 0.15 P 因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15 ＝1.6.

21．(本题满分12分)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

办理业务所需的时间(分) 频率 从第一个顾客开始办理业务时计时． (1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望． [分析] (1)由表中所给出的数值，第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务应分三种情况，逐一列出后求出其概率．(2)从已知条件知，X的值为0人，1人，2人三种情况，特别当x＝1时要注意再进行分类讨论．

[解析] 设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：

1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1 Y P 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1 (1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形： ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3

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分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．

所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2) ＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22. (2)解法一：X所有可能的取值为0,1,2.

X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，

所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；

X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间

超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，

所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2) ＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；

X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，

所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01； 所以X的分布列为

X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01 E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51. 22．(本题满分14分)(2015·江西省质量监测)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

老板根据销售量给予店员奖励，具体奖励规定如下表

销售量X个 奖励金额(元) X<100 0 100≤X<150 50 150≤X<200 100 X≥200 150 (1)求在未来连续3天里，店员共获得奖励150元的概率； (2)记未来连续2天，店员获得奖励X元，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)． [解析] (1)由频率分布直方图得店员一天获得50元、100元、150元的概率分别是0.3,0.2,0.1，不得奖励的概率是0.4，

所以未来连续3天里，店员共获得奖励150元的概率

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P＝0.33＋A33×0.3×0.2×0.4＋C3×0.4×0.1＝0.219；

(2)X可能取值有0,50,100,150,200,250,300.

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P(X＝0)＝0.42＝0.16，P(X＝50)＝2×0.4×0.3＝0.24.

P(X＝100)＝0.32＋2×0.4×0.2＝0.25，P(X＝150)＝2×0.4×0.1＋2×0.3×0.2＝

0.20.

P(X＝200)＝0.22＋2×0.3×0.1＝0.10， P(X＝250)＝2×0.2×0.1＝0.04， P(X＝300)＝0.12＝0.01，

所以随机变量X的分布列是：

X P(X) 0 0.16 50 0.24 100 0.25 150 0.20 200 0.10 250 0.04 300 0.01 E(X)＝0×0.16＋50×0.24＋100×0.25＋150×0.20＋200×0.10＋250×0.04＋

300×0.01＝100

(或E(X)＝2(0×0.4＋50×0.3＋100×0.2＋150×0.1)＝100)

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