高考数学题型专题（十二） 三角恒等变换与解三角形

题型专题(十二) 三角恒等变换与解三角形

[师说考点]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. tan α±tan β(3)tan(α±β)＝. 1?tan αtan β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 2tan α

(3)tan 2α＝. 1－tan2α

ππ3

[典例] (1)(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin(θ＋)＝，则tan?θ－?＝

454??________．

?π?3

[解析] 由题意知sin?θ＋?＝，θ是第四象限角，

?4?5?π?

所以cos?θ＋?＞0，

?4??π?

所以cos?θ＋?＝

?4?

?π?41－sin2?θ＋?＝.

4?5?

?π??ππ?

tan?θ－?＝tan?θ＋－? ?4??42??π?π??sin?－?θ＋???2?4??＝－ ?π?π??cos?－?θ＋???2?4???π?cos?θ＋?

4??

＝－

?π?sin?θ＋?

4??

454

＝－×＝－.

533

4

[答案] － 3

π7π43

(2)(2016·河南六市联考)已知cos?α－?＋sin α＝，则sin?α＋?的值是

56?6???________．

?π?4331433

[解析] 由cos?α－?＋sin α＝，可得cos α＋sin α＋sin α＝，即sin α＋

52252?6?343

cos α＝， 25

?π?43?π?4

∴3sin?α＋?＝，sin?α＋?＝，

?6?5?6?5?7π??π?4

∴sin?α＋?＝－sin?α＋?＝－.

56???6?

4

[答案] － 5[类题通法]

三角恒等变换的“4大策略”

(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；

(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；

(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．

[演练冲关]

ππ5

1．(2016·贵阳模拟)已知α∈?，π?，sin α＝，则tan?α＋?＝( )

134??2??717717

A．－ B. C. D．－ 177177

?π?125?π?解析：选C 因为α∈?，π?，所以cos α＝－，所以tan α＝－，所以tan?α＋?1312?2??4?

5

－＋1127

＝＝＝.

17π1＋5

1－tan αtan124

2．(2016·东北四市联考)已知sin?1

A．1 B．－1 C. D．0

2

ππ

－α?＝cos?＋α?，则cos 2α＝( ) ?6??6?

π

tan α＋tan

4

?π??π?1331

解析：选D ∵sin?－α?＝cos?＋α?，∴cos α－sin α＝cos α－sin α，即

2222?6??6??1－3?sin α＝－(1－3)cos α，∴tan α＝sin α＝－1，∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝

22?22?cos α

cos2α－sin2αsinα＋cosα

2

2

＝1－tan2α

2

＝0. tanα＋1

[师说考点]

1．正弦定理及其变形

abc

在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．

sin Asin Bsin Ca

变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．

2R2．余弦定理及其变形

在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.

b2＋c2－a2

变形：b＋c－a＝2bccos A，cos A＝. 2bc

2

2

2

3．三角形面积公式

111

S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.

222

4

[典例] (1)(2016·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，

55

cos C＝，a＝1，则b＝________.

13

45

[解析] 因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，

513312

所以sin A＝，sin C＝，

513

3541263

所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.

51351365asin B63521

又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝×＝. sin A65313[答案]

21 13

(2)(2016·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.

①求C；

33②若c＝7，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

2[解] ①由已知及正弦定理得

2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C. π1

可得cos C＝，所以C＝.

23133

②由已知得absin C＝.

22π

又C＝，所以ab＝6.

3

由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7， 故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25. 所以△ABC的周长为5＋7. [类题通法]

正、余弦定理的适用条件

(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．

[注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．

[演练冲关]

1．(2016·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则cos B＝( )

1133A．－ B. C．－ D.

2222

πsin Bsin A解析：选B 由正弦定理知＝＝1，即tan B＝3，所以B＝，所以cos B

33cos Bsin Aπ1

＝cos＝，故选B.

32

π33

2．(2016·福建质检)在△ABC中，B＝，AB＝2，D为AB中点，△BCD的面积为，

34则AC等于( )

ba

＝，3cos Bsin A