作业解答分析

15－15 若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半，试问宇宙飞船相对此惯性系的速度为多少？ (以光速c 表示)

解 设宇宙飞船的固有长度为l0 ，它相对于惯性系的速率为v，而从此惯性系测得宇宙飞船的长度为

l0/2，根据洛伦兹长度收缩公式，有

l0/2?l01?v2/c2可解得

v ＝0.866 c

15－19 在电子偶的湮没过程中，一个电子和一个正电子相碰撞而消失，并产生电磁辐射.假定正负电子在湮没前均静止，由此估算辐射的总能量E.

解 在相对论中，粒子的相互作用过程仍满足能量守恒定律，因此辐射总能量应等于电子偶湮没前两电子总能之和，辐射总能量为

E?2m0c2?1.64?10?13J?1.02MeV

第五章

5-7 如图（a）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1、k2 ．当物体在光滑斜面上振动时．（1） 证明其运动仍是简谐运动；（2） 求系统的振动频率．

题5-7 图

分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）．为此，建立如图（b）所示的坐标．设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox 轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力．利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率?．

证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则由物体受力平衡，有

mgsin??k1x1?k2x2 （1）

?和x2?，即x按图（b）所取坐标，物体沿x 轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸x1受力为

??x2?．则物体?x1???mgsin??k1?x1?x1?? （２） F?mgsin??k2?x2?x2将式（1）代入式（2）得

???k1x1? （３） F??k2x2?由式（3）得x1???F/k2，而x?x1??x2?，则得到 ??F/k1、x2F???k1k2/?k1?k2??x??kx

式中k?k1k2/?k1?k2?为常数，则物体作简谐运动，振动频率

v?ω/2π?11k/m?k1k2/?k1?k2?m 2π2π讨论 （1） 由本题的求证可知，斜面倾角θ 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响．事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动．而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因．（2） 如果振动系统如图（c）（弹簧并联）或如

图（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为

v?12π?k1?k2?/m，读者可以一试．通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相

同的．

5-10 某振动质点的x-t 曲线如图（a）所示，试求：（1） 运动方程；（2） 点P 对应的相位；（3） 到达点P 相应位置所需的时间．

分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题．本题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量A、ω和?0，从而写出运动方程．曲线最大幅值即为振幅A；而ω、

?0通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便．

解 （1） 质点振动振幅A ＝0.10 ｍ．而由振动曲线可画出t0 ＝0 和t1 ＝4 ｓ时旋转矢量，如图（b） 所示．由图可见初相

?0??π/3（或?0?5π/3），而由??t1?t0???/2??/3得

ω?5π/24s?1，则运动方程为

?5π?x?0.10cos?t?π/3??24??m?

题5-10 图

（2） 图（a）中点P 的位置是质点从A／2 处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图如图（c） 所示．当初相取

?0??π/3时，点

P 的相位为

?p??0???tp?0??0（如果初相取成

?0?5π/3，则点P 相应的相位应表示为?p??0???tp?0??2π．

（3） 由旋转矢量图可得ω?tp?0??π/3，则tp?1.6s．

5-12 图（a）为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为2cm，求（1） 振动周期；（2） 加速度的最大值；（3） 运动方程．

分析 根据v-t 图可知速度的最大值vmax ，由vmax ＝Aω可求出角频率ω，进而可求出周期T 和加速度的最大值amax ＝Aω2 ．在要求的简谐运动方程x ＝Acos（ωt ＋φ）中，因为A 和ω已得出，故只要求初相位φ即可．由v －t 曲线图可以知道，当t ＝0 时，质点运动速度v0 ＝vmax/2 ＝Aω/2，之后速度越来越大，因此可以判断出质点沿x 轴正向向着平衡点运动．利用v0 ＝－Aωsinφ就可求出φ．

解 （1） 由vmax?A?得??1.5s?1，则

T?2π/ω?4.2s

（2）amax?A?2?4.5?10?2m?s?2

（3） 从分析中已知v0??Aωsin?Aω/2，即

sin???1/2

???π/6,?5π/6

因为质点沿x 轴正向向平衡位置运动，则取

??5π/6，其旋转矢量图如图（b）所示．则运动方程为

5π??x?2cos?1.5t???cm?

6??

题5-12 图

5-15 如图（a）所示，质量为1.0 ×10-2 kg 的子弹，以500 m·s-1的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为4.99 kg，弹簧的劲度系数为8.0 ×103 N·m-1 ，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x 轴正向，求简谐运动方程．

题5-15 图

分析 可分为两个过程讨论．首先是子弹射入木块的过程，在此过程中，子弹和木块组成的系统满足动量守恒，因而可以确定它们共同运动的初速度v0 ，即振动的初速度．随后的过程是以子弹和木块为弹簧振子作简谐运动．它的角频率由振子质量m1 ＋m2 和弹簧的劲度系数k 确定，振幅和初相可根据初始条件（初速度v0 和初位移x0 ）求得．初相位仍可用旋转矢量法求．

解 振动系统的角频率为

??k/?m1?m2??40s?1