数学理提高版一轮复习自主学习：第30课正弦定理与余弦定理的综合应用

【解析】因为A+B+C=180°，A=2B， △ABC为锐角三角形，所以30°

asin2B所以b=sinB=2cos B∈(

2，3).

3. 已知线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始 h后，两车的距离最小.

70【答案】43

【解析】如图，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t.因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就转化为求DE最小时t的值.由余弦定理，得DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos 60°=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t=12 900t2-42

70000t+40 000.当t=43时，DE最小.

(第3题)

4. (2015·苏州调查)如图，有两条相交成60°角的直路X'X，Y'Y，交点为O，甲、乙两人分别在OX，OY上，甲的起始位置与点O相距3 km，乙的起始位置与点O相距1 km.后来甲沿XX'的方向、乙沿YY'的方向同时以4 km/h的速度步行. (1)求甲、乙在起始位置时两人之间的距离.

(2)设t h后甲、乙两人的距离为d(t)，写出d(t)的表达式，当t为何值时，甲、乙两人之间的距离最短?并求出两人之间的最短距离.

(第4题)

2201?3-2?1?3?cos60【解答】(1)由余弦定理，得起初两人的距离为=7(km).

(2)设t h后两人的距离为d(t)，则

12202(1-4t)?(3-4t)-2(1-4t)(3-4t)cos6016t-16t?7； 4当0≤t≤时，d(t)==32202(4t-1)?(4t-3)-2(4t-1)(4t-3)cos6016t-16t?7； 4当t>时，d(t)==13220(4t-1)?(3-4t)-2(4t-1)(3-4t)cos12044当

?1?16?t-??32?2?所以d(t)=16t-16t?7= (t≥0)，

1当t=2时，两人的距离最短，且为

1答：当t=2时，两人的距离最短为

23 km. 3 km.

1. (2015·北京卷)在△ABC中，已知a=3，b=6π【答案】4

2π，A=3，则角B= .

363ab【解析】由正弦定理，得sinA=sinB，即2=sinB，

2π所以sin B=2，因为b

2. (2016·苏州期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若tan A=2tan

1B，a2-b2=3c，则c= .

【答案】1

【解析】由已知及正、余弦定理知，tan

12222222B?b?c-a=a?c-bA=2tan

1?3a2-3b2=c2，又a2-b2=3c，所以c2-c=0，解得c=1或

c=0(舍去)，故c=1.

3. 为了测量塔AB的高度，先在塔外选择和塔脚在一条水平直线上的三点C，D，E，测得仰角分别为θ，2θ，4θ，CD=30 m，DE=103 m，则θ= ，塔高AB= m. 【答案】15° 15

【解析】如图，设塔脚为B，由题意得∠ADE=2∠ACD=2θ，可知△ACD为等腰三角形，所以AD=30，同理△ADE也是等腰三角形，AE=103，在△ADE中，

153cos 2θ=103=2，所以2θ=30°，所以θ=15°，AB=AEsin 4θ=AEsin

360°=103×2=15(m).

(第3题)

4. (2015·南京、盐城、徐州二模)如图，在△ABC中，D是BC上的一点.已知∠B=60°，AD=2，AC=10，DC=2，则AB= .

(第4题)

26【答案】3

【解析】在△ACD中，因为AD=2，AC=10，DC=2，

2?4-102所以cos ∠ADC=2?2?2=-2，从而∠ADC=135°，

AB200所以∠ADB=45°.在△ADB中，sin45=sin60，

2?所以AB=

222632=3.

5. (2015·苏州期末)如图，某生态园将三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200 m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.

(1)若围墙AP，AQ的总长度为200 m，问：如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?

(2)已知AP段围墙高1 m，AQ段围墙高1.5 m，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20 000元，问：如何围可使竹篱笆用料最省?

(第5题)

【解答】(1)设AP=x m，AQ=y m， 则x+y=200，x>0，y>0.

31△APQ的面积S=2xysin 120°=4xy.

?x?y???2??=10 000， 因为xy≤

2当且仅当x=y=100时取等号，

所以当AP=AQ=100 m时，可使三角形地块APQ的面积最大.

来&源：ziyuanku.com(2)由题意得100×(1×x+1.5×y)=20 000，

即x+1.5y=200.

在△APQ中，PQ2=x2+y2-2xycos 120°=x2+y2+xy，

400即PQ2=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40 000，其中0