2.3函数的单调性与最值=====

第三节 函数的单调性与最值

[备考方向要明了]

[归纳·知识整合]

1．函数的单调性 (1)单调函数的定义： 定义 增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2. 当x1f(x2)，那么函数f(x)在区间D上是增函数 就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是逐渐上升的 自左向右看图象是逐渐下降的 (2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D具有(严格的)单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间．

1

[探究] 1.函数y＝x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)，这种表示法对吗？

2．函数f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为[a，b]含义相同吗？ 提示：含义不同．f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除f(x)在其他区间上单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间上不可能单调递增．

2．函数的最值 前提 条件 结论 [探究] 3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征？

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 对于任意x∈I，都有f(x)≤M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M. M为最大值 对于任意x∈I，都有f(x)≥M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M. M为最小值 1 / 14

[自测·牛刀小试]

2

1．(教材习题改编)函数f(x)＝ ，x∈[2,6]，则下列说法正确的有( )

x－1①函数f(x)为减函数；②函数f(x)为增函数；③函数f(x)的最大值为2；④函数f(x)2

的最小值为5. A．①③ C．②③④

B．①③④ D．②④

2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) 1

A．k>

21

C．k>－2

1B．k< 21

D．k<－2

1

3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f??x??

????

A．(－1,1) C．(－1,0)∪(0,1)

B．(0,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

4．(教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调递增区间为________；f(x)max＝________.

5．(教材习题改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调递增函数，则实数k的取值范围是________．

考点一

[例1] 已知函数f(x)＝

x2＋1－ax，其中a>0.

函数单调性的判断或证明 (1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；

(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．

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判断或证明函数的单调性的两种方法 (1)利用定义的基本步骤是：

取值?作差?商?变形?确定符号?得出结论 (2)利用导数的基本步骤是： 求导函数?确定符号?得出结论

ax

1．讨论函数f(x)＝2(a>0)的单调性．

x－1

考点二

[例2] 求下列函数的单调区间． (1)y＝－x2＋2|x|＋3； (2)y＝log2(x2－1)．

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求函数的单调区间 1．求函数单调区间应注意的问题

函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行．

2．求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤 (1)确定定义域；

(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)； (3)分别确定这两个函数的单调区间；

(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”．

2．求函数y＝

考点三

x2＋a

[例3] 已知函数f(x)＝x(a>0)在(2，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围．

由函数的单调性求参数的值(或范围) x2＋x－6的单调区间．

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