复变函数与积分变换试题及答案

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复变函数与积分变换试题（一）

一、填空（3分×10）

1．ln(?1?3i)的模 ，幅角 。

2．-8i的三个单根分别为： ， ， 。 3．Lnz在 的区域内连续。 4．f(z)?z的解极域为： 。 。

5．f(z)?x2?y2?2xyi的导数f?(z)? ?sinz?6．Res?3,0?? ?z? 。 。 。 。 。

7．指数函数的映照特点是： 8．幂函数的映照特点是： 9．若F(?)=F [f(t)]，则f(t)= F ?1f[(?)] 10．若f（t）满足拉氏积分存在条件，则L [f(t)]= 二、(10分)

11已知v(x,y)??x2?y2，求函数u(x,y)使函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为

22解析函数，且f(0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算

dz?|z|?2z6(z?1)(z?3)

四、计算积分（5分×2） 1．?|z|?22．?dz

z(z?1)cosz C：绕点i一周正向任意简单闭曲线。

c(z?i)3精品资料 欢迎下载

五、（10分）求函数f(z)?1．0?|z?i|?1 2．1?|z?i|???

1在以下各圆环内的罗朗展式。

z(z?i)六、证明以下命题：（5分×2）

（1）?(t?t0)与e?iwto构成一对傅氏变换对。 （2）???e?i?tdt?2??(?)

?x??y?z??1?七、（10分）应用拉氏变换求方程组?x?y??z?0满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y(t)。

?y?4z??0???

八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）

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一、1．

2??4ln22??2 ，arctg3?2k?

9ln2 2.

3-i

2i

3-i

3. Z不取原点和负实轴 4. 空集 8. 角形域映为角形域

9.

5. 2z 6． 0

7.将常形域映为角形域

10.

12??????F(?)ei??d?

???0f(t)e?stdt

二、解：∵

?v?u??x?? ?x?y?v?u?y?∴u?xy?c ?y?x（5分）

1??1f(z)?i??x2?y2??xy?c

2??2∵f(0)=0

c=0

（3分）

（2分）

∴f(z)?xy?i2ii(x?y2)??(x2?y2?2xyi)??z2 2222三、解：原式=（2分）2?i?Res?k?14??1 ,zk?6?z(z?1)(z?3)?z1?0 z2?1

（2分）??2?i?Res?k?3??1 ,zk?6z(z?1)(z?3)??z3?3 z4??

??11Res?6,3??(2分）6

z(z?1)(z?3)3?2???????111?Res?6,???（2分）Res??2,0?=0

?z(z?1)(z?3)??1(1?1)(1?3)z?6??z?zz?∴原式=（2分） 2?i?21??i =6633?2z2=1

?1?,zk? （3分） 四、1．解：原式?2?i?Res?z1=0

z(z?1)k?1??

?2?i[?1?1]=0

2．解：原式? （2分）

2?icos??z2!z?i??i（?cosz）z?i???icosi=??ich1

五、1．解：

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1111f(z)（1分）???（1分）??(z?i)z?i?i(z?i)i111??z?i??（1分）????? z?iz?iin?0?i?1?in

??in?0?n?1(z?i)n?1??i(z?i)n（2分）

n??1?n 2．解：f(z)（1分）?111??（1分）?2(z?i)i?(z?i)(z?i)1?i?1???z?i??

1（1分）?(z?i)2六、1．解：∵

???11i????in(z?i)n?2 （2分） ?????n?n?2n?0i(z?i)n?0?z?i?n?0?n??????(t?t0)e?i?tdt?e?i?tt?t0?e?i?t0

（3分） ∴结论成立 （2分）

1??（2）解：∵2??(?)e?i?tdw?e?i?t?2???

∴2??(w)与1构成傅氏对 ∴

??0?1

?????e?i?tdt?2??(?)

（2分）

1?sX(s)?Y(s)?sZ(s)??S?七、解：∵?X(s)?sY(s)?Z(s)?0?Y(s)?4sZ(s)?0??S（2）-（1）：

(1)(2) (3)（3分）

∴Y(s)?1s11?11??1?1??????????? 22s?1?s?ss?1s2?s?1s?1?（3分）

∴Y(t)?1?1t1?te?e?1?cht 22

②C-R充要条件Th； ③v为u的共扼函数

10分

八、解：①定义；

复变函数与积分变换试题（二）

一、填空（3分×10）