导数期末复习试题及答案

导数常见例题选讲

１函数y?x3?3x的单调递减区间是 （－1，1）

2设曲线y?logax在点(1，0)处的切线与直线x?2y?1?0平行，则a? 3函数f(x)?(x?3)ex的单调递增区间是 (2,??) 4函数f(x)?lnx的单调增区间为_______ x5曲线y=－x上的点到直线2x－y+3=0的最短距离为 ．

225 58336向高为8m，底面边长为8m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟m，则

当水深为5m时，水面上升的速度为 ．

8m/s 75

由体积相等得t?831221h?h，所以h?23t，h'(t)?， 333t2当h＝5时，t＝

1258'，所以v＝h(t)|125?m/min．

t?87587已知函数f(x)?xex，函数f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程为____y?x___ 8已知P点在曲线f(x)?x4?x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x?y?0，则点P的坐标为 （1，0）

9函数y=x－2sinx在（0， 2?）内的单调增区间为 ．(?5?3,31) 2)

10若函数f(x)?x3?6bx?3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是 (0,11已知函数f(x)??x3?3x2?9x?a（a为常数），在区间[?2,2]上有最大值20，那么此函数在区间[?2,2]上的最小值为 ?7

3212如图为函数f(x)?ax?bx?cx?d的图象，f'(x)为函数

yf(x)的导函数，则不等式x?f'(x)?0的解集为 (??,?3)?(0,3)

32-3o3x13已知函数f(x)?x?bx?cx?d(b,c,d为常数)，当k?(??,0)?(4,??)时，当k?(0,4)时,f(x)?k?0有3个相异实根，现给出下列4f(x)?k?0只有一个实数根；

个命题：①函数f(x)有2个极值点； ③f(x)=4，f?(x)=0有一个相同的实根 其中正确命题的个数是 14已知点P在曲线y=

②函数f(x)有3个极值点；

④f(x)=0和f?(x)=0有一个相同的实根

4上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值 ex?13?,?) 412x15设函数f(x)?xe．

2范围是 [（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若当x?[?2,2]时，不等式恒f(x)?m成立，求实数m的取值范围． 【解】（1）f?(x)?xe?x12x1xxe?ex(x?2)， …2分 22 令exx(x?2)?0，得x?0或x??2，

∴f(x)的增区间为(??,?2)和(0,??)，………4分 令exx(x?2)?0，得?2?x?0，

∴f(x)的减区间为(?2,0)．………………………………………………6分 （2）因为x?[?2,2]，令f?(x)?0，得x??2，或x?0，

又由（1）知，x??2，x?0分别为f(x)的极小值点和极大值点， ………8分 ∵f(?2)?22，，f(0)?0， f(2)?2e2e2 ∴f(x)?[0,2e]， ……………………………………………………………11分 ∴m?2e． ………………………………………………………………………12分 16设f(x)?ax?bx?cx的极小值为－8，其导函数y?f?(x)的图象经过点

3222(?2,0),(,0)，如图所示。

3 （1）求f(x)的解析式；

（2）若对x?[?3,3]都有f(x)?m?14m恒成立，求实数m的取值范围。

2

【解】（1）f?(x)?3ax2?2bx?c,且y?f?(x)的图象过点(?2,0),(,0)

2∴?2,为3ax?2bx?c?0的两根,代入得b?2a,c??4a,

2323∴f(x)?ax3?2ax2?4ax（2分）

由图象知，y?f?(x)在区间(?2,)时,f?(x)?0恒成立， ∴f(x)在区间(?1,)上单调递增，

同理可知，f(x)在区间(??,?2)和(,??)上单调递减， ∴f(x)在x??2时，取得极小值，即f(?2)??8 （4分）

232323a(?2)3?2a(?2)2?4a(?2)??8,

解得a=－1，

∴f(x)??x?2x?4x. （6分） （2）要使对x?[?3,3],都有f(x)?m?14m恒成立， 只需f(x)min?m?14m即可 （8分） 由（1）可知，函数f(x)在[?3,?2)上单调递减， 在(?2,)上单调递增，在(,3]上单调递减，

且f(?2)??8,f(3)??3?2?3?4?3??33??8,

3222322323?f(x)min?f(3)??33 （10分）

则－33?m?14m,解得3?m?11

故所求实数m的取值范围为[3，11] （12分） 17造船厂年造船量20艘，造船x艘产值函数为

，成本函数c?x??460x?5000（单位：万元），R?x??3700x?45x2?10x3（单位：万元）

2

又在经济学中，函数f?x?的边际函数Mf?x?定义为Mf?x??f?x?1??f?x? （1）求利润函数P?x?及边际利润函数MP?x?（利润=产值—成本） （2）问年造船量安排多少艘时，公司造船利润最大 （3）边际利润函数MP?x?的单调递减区间

【解】（1）P?x??R?x??C?x???10x3?45x2?3240x?5000,

?x?N,1?x?20?；

?MP?x??P?x?1??P?x???30x2?60x?3275,?x?N?,1?x?19?

（2）P'?x???30x2?90x?3240??30?x?12??x?9?

''?x?0,?P'?x??0，x?12?0?x?12时P?x??0;x?12时P?x??0,

?x?12，P'?x?有最大值；即每年建造12艘船，年利润最大（8分）

（3）MP?x???30x2?60x?3275??30?x?1??3305，（11分） 所以，当x?1时，MP?x?单调递减，所以单调区间是?1,19?，且x?N? 18已知函数f(x)?x?alnx，g(x)??（Ⅰ）若a?1，求函数f(x)的极值；

（Ⅱ）设函数h(x)?f(x)?g(x)，求函数h(x)的单调区间；

解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??)， ………………………1分 当a?1时，f(x)?x?lnx，f?(x)?1?分

2??1?a, (a?R). x1x?1? ， ………………………2xx

………………………3

分

所以f(x)在x?1处取得极小值

x f?(x) f(x) (0,1) — 1 0 极小 (1,??) + 1. ………………………4分 （Ⅱ）h(x)?x?1?a?alnx， x1?aax2?ax?(1?a)(x?1)[x?(1?a)]………………………6分 h?(x)?1?2???22xxxx