2015年四川省雅安市高考数学三诊试卷（文科）

（e）=．且x→0，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f（x）=﹣m有

两个零点，则，解得，因此③不正确．

+

④∵f（x）=logax（0＜a＜1），∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵k，m，n∈R且不全等，则

，

，

，等号不全相等，

，因此正确．

综上可得：错误的是①②③．

故答案为：①②③． 【点评】： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题：（本大题共6个小题，75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知向量

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=1，c=1，，且a＞b，求a，b的值．

【考点】： 平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；余弦定理． 【专题】： 解三角形． 【分析】： （Ⅰ）由题意结合数量积的定义可得f（x）的解析式，由整天法可求单调区间； （Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得结合余弦定理和

结合可解答案．

=

=，

．（5分）

．（6分） （2C+

，即

，（7分）

）=1

（3分）

（2C+

）=1，进而可得

，

，

，函数

【解析】： 解：（Ⅰ）由题意可得：

=

由得

所以f（x）的单调增区间是（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得∵C是三角形内角，∴

∴cosC=将

代入可得

=，即a+b=7． （9分）

，解之得：a=3或4，

2

22

∴a=或2，∴b=2或，（11分） ∵a＞b，∴a=2，b=． （12分） 【点评】： 本题为三角函数和解三角形的综合应用，涉及余弦定理，属中档题．

17．（12分） 有编号为A1，A2，…A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：

其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．

（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个．

（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果； （ⅱ）求这2个零件直径相等的概率．

【考点】： 古典概型及其概率计算公式；等可能事件；等可能事件的概率． 【专题】： 概率与统计． 【分析】： （1）考查古典概型用列举法计算随机事件所含的基本事件数，从10个零件中随机抽取一个共有10种不同的结果，而符合条件的由所给数据可知，一等品零件共有6个，由古典概型公式得到结果．

（2）（i）从一等品零件中，随机抽取2个，一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6．从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有15种．

（ii）从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等记为事件B，列举出B的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．根据古典概型公式得到结果． 【解析】： （Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个． 设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P（A）=（Ⅱ）（i）一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6． 从这6个一等品零件中随机抽取2个，

所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}， {A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}， {A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}共有15种． （ii）“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件B B的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}， {A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种． ∴P（B）=

．

=；

【点评】： 本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力． 18．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示． （Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD； （Ⅱ）求几何体D﹣ABC的体积．

【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【专题】： 计算题． 【分析】： （Ⅰ）解法一：由题中数量关系和勾股定理，得出AC⊥BC，再证BC垂直与平面ACD中的一条直线即可，△ADC是等腰Rt△，底边上的中线OD垂直底边，由面面垂直的性质得OD⊥平面ABC，所以OD⊥BC，从而证得BC⊥平面ACD； 解法二：证得AC⊥BC后，由面面垂直，得线面垂直，即证． （Ⅱ），由高和底面积，求得三棱锥B﹣ACD的体积即是几何体D﹣ABC的体积． 【解析】： 解：（Ⅰ）

222

【解法一】：在图1中，由题意知，，∴AC+BC=AB，∴AC⊥BC 取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC， 且平面ADC∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，从而OD⊥平面ABC， ∴OD⊥BC

又AC⊥BC，AC∩OD=O， ∴BC⊥平面ACD

222

【解法二】：在图1中，由题意，得，∴AC+BC=AB，∴AC⊥BC ∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC?面ABC，∴BC⊥平面ACD （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，且所以三棱锥B﹣ACD的体积为：由等积性知几何体D﹣ABC的体积为：

．

，S△ACD=×2×2=2，

，

【点评】： 本题通过平面图形折叠后得立体图形，考查空间中的垂直关系，重点是“线线垂直，线面垂直，面面垂直”的转化；等积法求体积，也是常用的数学方法．

19．（12分）已知数列{an}的前项n和为Sn，点（n，Sn）（n∈N）均在函数f（x）=3x﹣2x的图象上．

（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=

是数列{bn}的前n项和，求使得2Tn≤λ﹣2015对所有n∈N都成立

*

*2

的实数λ的范围．

【考点】： 数列的求和；数列与函数的综合． 【专题】： 等差数列与等比数列．

【分析】： （1）利用点（n，S）在函数f（x）=3x﹣2x的图象上，得到求出首项，判断数列是等差数列，然后求解通项公式．

（2另一类消费求出数列的和，然后结合不等式求出λ≥2016即可． 【解析】： 解：（1）∵点（n，S）在函数f（x）=3x﹣2x的图象上，∴当n=1时，a1=S1=3﹣2=1…（2分） 当n≥2时，分）

当n=1时，6n﹣1=1符合∴（2）∵∴

=

…（6分）

，

…（10分） =6n﹣5…（5

22

，

∴2Tn＜1

*

又∵2Tn≤λ﹣2015对所有n∈N都成立∴1≤λ﹣2015 故λ≥2016…（12分） 【点评】： 本题考查等差数列的判定，数列求和的方法，数列与函数相结合，以及不等式的应用，考查计算能力．

20．（13分）已知抛物线C1：y=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x+y=1上． （1）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；

（2）过点F的直线交抛物线C1于A，B两不同点，交y轴于点N，已知=

，则λ1+λ2是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．

=

，

2

2

2

=1（a＞b＞0）

【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程．