高中数学 第一章统计案例学案 新人教A版选修1-2

§1.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）

学习目标 1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用;

2. 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.

3. 了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P4~ P7，找出疑惑之处） 复习1：求线性回归方程的步骤

复习2：作函数y?2x和y?0.2x2?5的图像

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务：如何建立非线性回归模型？

实例一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y与

x之间的回归方程. 温度x/?C 产卵数y个 21 23 7 11 25 21 27 29 32 35 24 66 115 325

（1）根据收集的数据，做散点图

用心 爱心 专心 9

上图中，样本点的分布没有在某个 区域，因此两变量之间不呈 关系，所以不能直接用线性模型.由图，可以认为样本点分布在某一条指数函数曲线y?ebx?a的周围（a,b为待定系数）.

对上式两边去对数，得

lny?

令z?lny,，则变换后样本点应该分布在直线

的周围.这样，就利用 模型来建立y和x的非线性回归方程. 7 11 21 z?lny 作散点图（描点(xi,zi)） x y 21 23 25 27 24 29 32 35 66 115 325

由上表中的数据得到回归直线方程

?? z

因此红铃虫的产卵数y和温度x的非线性回归方程为

※ 典型例题

例1一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表中， 温度x/?C 产卵数y个 21 23 25 27 29 32 35 7 11 21 24 66 115 325 （散点图如由图，可以认为样本点集中于某二次曲线y?c3x2?c4的附近，其中c1,c2为待定参数）试建立y与x之间的回归方程.

用心 爱心 专心 10

思考：评价这两个模型的拟合效果.

小结：利用线性回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图?建模?确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.

三、总结提升 ※ 学习小结

利用线性回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图?建模?确定方程”这三个步骤进行.

※ 知识拓展

非线性回归问题的处理方法： 1、 指数函数型y?ebx?a

① 函数y?ebx?a的图像：

② 处理方法：两边取对数得lny?ln(e)，即lny?bx?a.令z?lny,把原始数据（x,y）转化为（x,z），再根据线性回归模型的方法求出b,a. 2、对数曲线型y?blnx?a ① 函数y?blnx?a的图像

bx?a用心 爱心 专心 11

② 处理方法：设x??lnx，原方程可化为y?bx??a 再根据线性回归模型的方法求出a,b. 3、y?bx2?a型

处理方法：设x??x2，原方程可化为y?bx??a，再根据线性回归模型的方法求出a,b. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 两个变量 y与x的回归模型中，求得回归方程为y?e0.2x?32，当预报变量x?10时（ ）. A. 解释变量y?e?30 B. 解释变量y大于e?30 C. 解释变量y小于e?30 D. 解释变量y在e?30左右

2. 在回归分析中，求得相关指数R2?0.89，则（ ）. A. 解释变量解对总效应的贡献是11% B. 解释变量解对总效应的贡献是89% C. 随机误差的贡献是89% D. 随机误差的贡献是0.89%

3. 通过e1,e2,?,en来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分析称为（ ）.

A．回归分析 B．独立性检验分析 C．残差分析 D. 散点图分析

4.在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y?ebx?a的

??0.25x?2.58，则该模型的回归方程周围，令z?lny，求得回归直线方程为z为 .

5. 已知回归方程?y?0.5lnx?ln2,则x?100时,y的估计值为 .

天数x/天 1 2 12 3 25 4 49 5 6 繁殖个数y/个 6 95 190 课后作业 为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：

（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.

用心 爱心 专心

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