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初中数学竞赛辅导资料(47)

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初中数学竞赛辅导资料(47)

配方法

甲内容提要

1. 配方:这里指的是在代数式恒等变形中,把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式

(a±b)2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种:

①由a2+b2配上2ab, ②由2 ab配上a2+b2, ③由a2±2ab配上b2. 2. 运用配方法解题,初中阶段主要有:

① 用完全平方式来因式分解

例如:把x4+4 因式分解.

原式=x4+4+4x2-4x2=(x2+2)2-4x2=?? 这是由a2+b2配上2ab.

② 二次根式化简常用公式:a?a,这就需要把被开方数写成完全平方式.

例如:化简5?26.

我们把5-26写成 2-223+3

=(2)2-223+(3)2 =(2-3)2.

这是由2 ab配上a2+b2.

③ 求代数式的最大或最小值,方法之一是运用实数的平方是非负数,零就是最小值.

即∵a2≥0, ∴当a=0时, a2的值为0是最小值. 例如:求代数式a2+2a-2 的最值. ∵a2+2a-2= a2+2a+1-3=(a+1)2-3

当a=-1时, a2+2a-2有最小值-3. 这是由a2±2ab配上b2

④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零,则每一个非负数都是零,有时就需

要配方.

例如::求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y. 解:方程x2+y2+2x-4y+1+4=0.

配方的可化为 (x+1)2+(y-2)2=0. 要使等式成立,必须且只需?2?x?1?0.

?y?2?0?x??1解得 ?

y?2?此外在解二次方程中应用根的判别式,或在证明等式、不等式时,也常要有配方的知识

和技巧.

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乙例题

例1. 因式分解:a2b2-a2+4ab-b2+1.

解:a2b2-a2+4ab-b2+1=a2b2+2ab+1+(-a2+2ab-b2) (折项,分组)

=(ab+1)2-(a-b)2 (配方)

=(ab+1+a-b)(ab+1-a+b) (用平方差公式分解)

本题的关鍵是用折项,分组,树立配方的思想. 例2. 化简下列二次根式:

①7?43; ②2?3; ③10?43?22. 解:化简的关键是把被开方数配方

2①7?43=4?2?23?3=(2?3)

=2?3=2+3.

234?23(3?1)2②2?3=2?==

222=

6?22(3?1)=.

22③10?43?22=10?4(2?1)

=10?( 42+1)=6?42=4?2?22?2=(2?=2-2.

例3. 求下列代数式的最大或最小值:

① x2+5x+1; ② -2x2-6x+1 .

22)2

5?5?25解:①x+5x+1=x+2×x+??-+1

4`2?2?2

2

2=(x+

∵(x+

5221)-. 2452

)≥0,其中0是最小值. 2521即当x=时,x2+5x+1有最小值-.

241②-2x2-6x+1 =-2(x2+3x-)

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3991x+?-) 2442311=-2(x+)2+

22=-2(x2+2×

32

)≤0,其中0是最大值, 2311∴当x=-时,-2x2-6x+1有最大值.

22∵-2(x+

例4. 解下列方程:

①x4-x2+2xy+y2+1=0 ; ②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0. 解:①(x4-2x2+1)+(x2+2xy+y2)=0 . (折项,分组) (x2-1)2+(x+y)2=0. (配方)

根据“几个非负数的和等于零,则每一个非负数都应等于零”.

??x?1?0 得 ?

??x?y?0∴?2?x?1, 或

?y??1?x??1 ??y?1②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2-2y+1=0 . (折项,分组) (x+y)2+6(x+y)+9+y2-2y+1=0.

(x+y+3)2+(y-1)2=0. (配方) ∴?例5.

?x?y?3?0?x??4 ∴?

?y?1?0?y?1已知:a, b, c, d 都是整数且m=a2+b2, n=c2+d2, 则mn也可以表示为两个整数的平方和,试写出其形式. (1986年全国初中数学联赛题) 解:mn=( a2+b2)( c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2

= a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c2-2abcd (分组,添项) =(ac+bd)2+(ad-bc)2

例6. 求方程 x2+y2-4x+10y+16=0的整数解 解:x2-4x+16+y2+10y+25=25 (添项) (x-4)2+(y+5)2=25 (配方)

∵25折成两个整数的平方和,只能是0和25;9和16.

2222??(?x?4)?0??(x?4)?25(?x?4)?9??(x?4)?16或?或?或?∴? 2222??(y?5)?25??(y?5)?0??(y?5)?16??(y?5)?9由??x?4?0?x?4得?

y?5?5y?0???x?4?x?9?y??10??y?-5?x??1?? ??y??5同理,共有12个解?

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丙练习47

1. 因式分解:

①x4+x2y2+y4 ; ②x2-2xy+y2-6x+6y+9 ; ③x4+x2-2ax-a2+1. 2. 化简下列二次根式:

①4x2?12x?9?4x2?20x?25 (-

35<x<); 22x2?4x3?3x?2② (1

⑤11?44?23; ⑥3?5?3?5; ⑦(14+65)÷(3+5); ⑧(3?x)2+x?8x?16. 3求下列代数式的最大或最小值: ①2x2+10x+1 ; ②-

212

x+x-1. 24.已知:a2+b2-4a-2b+5 . 求:

a?b3?22的值.

5.已知:a2+b2+c2=111, ab+bc+ca=29 . 求:a+b+c的值. 6.已知:实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 . 试判断代数式

111??值的正负. (1987年全国初中数学联赛题) abc7.已知:x=19?83 .

x4?6x3?2x2?16x?23 求:. (1986年全国初中数学联赛题)

x2?8x?158.已知:a2+c2+2(b2-ab-bc)=0 . 求证:a=b=c. 9. 解方程:

①x2-4xy+5y2-6y+9 ; ②x2y2+x2+4xy+y2+1=0 ; ③5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0. 10.求下列方程的整数解:

①(2x-y-2)2+(x+y+2)2=5; ②x2-6xy+y2+10y+25=0.

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