湖南省郴州市2020届高三第一次教学质量监测(12月)试题文(数学)

绝密★启用前

数 学

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.

1}，B={x|0

22a2.若复数Z??1为纯虚数，则实数a?

1?i1.设集合A={x|?1?x

B.-1 C.1 D.2

3. 若角?的终边过点A(3，-4)，则sin(??)? A. ?4334 B. ? C. D. 5555

4.函数f(x)?x?cosx的大致图象是

5.在等差数列{an}中，a2,a14是方程x?8x?6?0的根，则

2a3a13的值为 a8A. ?4?10 B. 6 C. ?6 D.?6或6

6. 定义域为R的函数f(x)是偶函数，且对任意x1,x2?(0,??),f(x1)?f(x2)<0.设

x1?x2a?f(2),b?f(?),c?f(?1)，则

A.b

C. c

D.a

7.已知向量a=(1,3)，b?(4,m)，且(a?b)?b，则向量a与b夹角为 A.

???? C. D. B. 32468.下列结论中正确的个数是

①在?ABC中，若sin24=sin2B，则?ABC是等腰三角形； ②在?ABC中，若 sinA>sinB，则A>B

③两个向量a,b共线的充要条件是存在实数?，使b??a ④等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. A. 0

9. 郴州市正在创建全国文明城市，现有甲、乙、丙、丁 4人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组打扫街道卫生，则甲、乙不在同一组的概率为 A.

B. 1 C. 2 D. 3

1121 B. C. D.

3 2 3 6

x2y210.已知双曲线C:2?2?1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2

ab为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为 A.

2 B.2?2 C.2 D.

11. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x?y?2,若将军从点A（3,0)处出发，河岸线所在直线方程为x?y?4,并假定将军 只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 A.25 B.17?2

C.

222?2

17 D.3?2

12.已知函数f(x)在定义域开上的导函数为f'(x)，若函数y?f'(x)没有零点，且

f[f(x)?2020x]?2020，当g(x)?sinx?3cosx?kx在[,]上与f(x)在R上的单调性相同时，

22实数k的取值范围是

A.(??,?1] B.(??,?3] C.[?1,3] D. [3,??)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中横线上.

???2x,x?0?13.已知函数f(x)??1x，f(f(?1))? .

()?x,x<0??2?3x?y?4?14.已知x,y满足约束条件?y?4， 若Z?x?y的最大值是 .

?x?y?2?

15.设数列{an}满足a1?3,Sn?2an?1,n?2，则a5? .

16. 在?ABC中， AB=8, BC=6,AC=10, P为?ABC外一点，满足 PA=PB=PC=55，则三棱锥P-ABC的外接球的半径为 .

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17题-21题为必考题. 22题、23题为选考题.

17. (本小题满分12分）

某经销商从某养殖场购进某品种河蟹，并随机抽取了 100只进行统计，按重量分类统计，得到频率分布直方图如下：

(I )记事件A为“从这批河蟹中任取一只，重量不超过120克”，估计P(A）； (II)试估计这批河蟹的平均重量；

(Ⅲ)该经销商按有关规定将该品种河蟹分三个等级，并制定出销售单价如下：

试估算该经销商以每千克至多花多少元(取整）收购这批河蟹，才能获利？

18. (本小题满分12分）

在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且向量n?(2a?c,cosC)与向量m?(b,cosB)共线.

(I)求角B的大小；

(II)若BD?2DC，且CD=1，AD=7，求三角形ABC的面积.

19.(本小题满分12分）

如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA丄平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=22，BC=2AE=2.

(I)求证：CD丄平面PAC;

(II)求直线PA与平面PCD所成的角是积.

20. 设P为圆x?y?6上任意一点,过点P作x轴的垂线，垂足为Q,点M是线段PQ上的 一点，且满足

22?，求五棱锥P-ABCDE的体4PQ?3MQ.

(I)求点M的轨迹C的方程；

(II)过点F(2,0)作直线l与曲线C相交于A,B两点，设0为坐标原点,当?OAB的面积最大时，求直线l的方程.

21.(本题满分12分)

已知函数f(x)?xe?2ax?3.

(I)若曲线y?f(x)在x?0处切线与坐标轴围成的三角形面积为(II)若a??

x9，求实数a的值; 21，求证：f(x)?lnx?4. 2