第十章直线相关与回归

第十章 直线相关与回归

一、教学大纲要求

（一） 掌握内容

⒈ 直线相关与回归的基本概念。 ⒉ 相关系数与回归系数的意义及计算。 ⒊ 相关系数与回归系数相互的区别与联系。 （二）熟悉内容

⒈ 相关系数与回归系数的假设检验。 ⒉ 直线回归方程的应用。 ⒊ 秩相关与秩回归的意义。 （三）了解内容 曲线直线化。

二、 学内容精要

(一) 直线回归 1. 基本概念

直线回归(linear regression)建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simple regression）。

??a?bX中，a、b是决定直线的两个系数，见表10-1。 直线回归方程Y

表10-1 直线回归方程a、b两系数对比

a b 含义 回归直线在Y轴上的截距（intercept）。 回归系数（regression coefficient），即直线

表示X为零时，Y的平均水平的估计的斜率。表示X每变化一个单位时，Y的值。 平均变化量的估计值。

系数>0 a>0表示直线与纵轴的交点在原点的b>0，表示直线从左下方走向右上方，即Y

上方 随X增大而增大

系数<0 a<0表示直线与纵轴的交点在原点的b<0，表示直线从左上方走向右下方，即Y

下方 随X增大而减小

系数=0 a=0表示回归直线通过原点 b=0，表示直线与X轴平行，即Y不随X

的变化而变化

计算公式 ?(X?X)(Y?Y)?lXY

b?a?Y?bX (X?X)2lXX?

2. 样本回归系数b的假设检验 （1）方差分析； （2）t检验。

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3. 直线回归方程的应用 （1）描述两变量的依存关系； （2）用回归方程进行预测； （3）用回归方程进行统计控制； （4）用直线回归应注意的问题。 (二) 直线相关 1. 基本概念

直线相关（linear correlation）又称简单相关（simple correlation），用于双变量正态分布资料。有正相关、负相关和零相关等关系。直线相关的性质可由散点图直观的说明。

相关系数又称积差相关系数（coefficient of product-moment correlation），以符号r表示样 本相关系数，ρ表示总体相关系数。它是说明具有直线关系的两个变量间，相关关系的密切程度与相关方向的指标。

2.

计算公式

r??(X?X)(Y?Y)?(X?X)(Y?Y)2?2lXYlXXlYY

相关系数r没有单位，其值为－1≤r≤1。其绝对值愈接近1，两个变量间的直线相关愈密切；愈接近0，相关愈不密切。r值为正表示正相关，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；r值为负表示负相关，说明一变量增加、另一变量减少，即方向相反；r的绝对值等于1为完全相关。

3. 样本相关系数r的假设检验 （1）r界值表法； （2）t检验法。

（三）直线回归与相关的区别与联系 1. 区别

（1） 资料要求：直线回归要求因变量Y服从正态分布，X是可以精确测量和严格控制的变量，一般称为Ⅰ型回归；直线相关要求两个变量X、Y服从双变量正态分布。这种资料若进行回归分析称为Ⅱ型回归。

（2） 应用情况：直线回归是说明两变量依存变化的数量关系；直线相关是说明两变量间的相关关系。

（3） 意义：b表示X每增（减）一个单位时，Y平均改变b个单位；r说明具有直线关系的两个变量间关系的密切程度与相关方向。

（4） 计算：b= lxy/ lxx ；r = lxy/lxxlyy。 （5） 取值范围：—∞＜b＜+∞ ；－1≤r≤1 。 （6） 单位：b有单位；r没有单位。 2. 联系

（1） 方向一致：对一组数据若能同时计算b和r,它们的符号一致。

（2） 假设检验等价：对同一样本，r和b的假设检验得到的t值相等，即tb=tr 。

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（3） 用回归解释相关：决定系数r?则r2越接近1，说明引入相关的效果越好。 （四）秩相关

22lxylxxlyy?SS回SS总，回归平方和越接近总平方和，

秩相关，又称等级相关（rank correlation），是用双变量等级数据作直线相关分析，适用于下列资料：

⒈ 不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析； ⒉ 总体分布型未知； ⒊ 用等级表示的原始数据。

三、典型试题分析

1．回归系数的假设检验（ ）

A．只能用r的检验代替 B．只能用t检验 C．只能用F检验 D．三者均可 答案：D

[评析] 本题考点：回归系数假设检验方法的理解。

回归系数的假设检验常用的方法有：①方差分析；②t检验。对同一样本，r和b的假设检验等价，r和b的假设检验得到的t值相等，即tb=tr。故回归系数的假设检验用三者均可。

2．已知r1=r2，那么（ ）

A．b1=b2 B．tb1=tb2

C．tr1=tr2 D．两样本决定系数相等 答案： D

[评析] 本题考点：直线相关系数与回归系数关系的理解。

因为相关系数r和回归系数b的计算公式不同，不能推导出b1=b2 ；r和b的假设检验等价，即tr1= tb1，tr2=tb2，而不是tb1=tb2，tr1=tr2 ；样本决定系数为r2，已知r1=r2，则两样本决定系数相等，即r1=r2。

3．|r|>r0.05( n-2)时，可认为两变量X与Y间（ ）

A．有一定关系 B. 有正相关关系 C．一定有直线关系 D. 有直线关系 答案： D

[评析] 本题考点：直线相关系数假设检验的理解。

因为直线相关系数r是样本的相关系数，它是相应总体相关系数ρ的估计值。由于抽样误差的影响，必须进行显著性检验。r的假设检验是检验两变量是否有直线相关关系。|r|>r0.05( n-2)时，P<0.05，拒绝H0，接受H1，认为总体相关系数ρ≠0，因此可认为两变量X与Y间有直线关系。

4．相关系数检验的无效假设H0是（ ）

A．ρ=0 B. ρ≠0 C．ρ>0 D. ρ<0 答案： A

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2

2

[评析] 本题考点：直线相关系数显著性检验中检验假设的理解。

因为r是样本相关系数，它是总体相关系数ρ的估计值。要判两变量间是否有相关关系，就要检验r是否来自总体相关系数ρ为零的总体。因为即使从ρ=0的总体作随机抽样，由于抽样误差的影响，所得r值也常不等于零。

5．同一双变量资料，进行直线相关与回归分析，有（ ）。

A．r>0，b<0 B. r>0，b>0

C．r<0，b>0 D. r与b的符号毫无关系 答案： B

[评析] 本题考点：直线相关与回归的区别与联系的理解。

因为对同一资料而言直线相关系数与回归系数的方向一致，若能同时计算b和r,它们的符号一致。因此，同一双变量资料，进行直线相关与回归分析，有r>0，b>0。

四、习 题

（一） 单项选择题 1．

下列( )式可出现负值。

A．∑（X—X）2 B．∑Y 2—（∑Y）2/n C．∑(Y—Y) 2 D．∑（X—X）（Y—Y） 2．

Y=14+4X是1~7岁儿童以年龄（岁）估计体重（市斤）的回归方程，若体重换成国际单位kg，则此方程( )。

A．截距改变 B．回归系数改变 C．两者都改变 D．两者都不改变

3．

已知r=1，则一定有( )。

A．b=1 B．a=1 C．SY. X=0 D．SY. X= SY

4．

用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观察点( )。 A．距直线的纵向距离相等 B．距直线的纵向距离的平方和最小 C．与直线的垂直距离相等 D．与直线的垂直距离的平方和最小

5．

直线回归分析中，X的影响被扣除后，Y方面的变异可用指标( )表示。 A．Sx,y?C. Sy,x6．

2X)?(X???)2(n?1) (n?2) B. Sr??(Y?YX?X???)2(n?2) D. S?S??(Y?Ybxy??2 7．

直线回归系数假设检验，其自由度为( )。

A．n B．n－1 C．n－2 D．2n－1 应变量Y的离均差平方和划分，可出现( )。

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