最新-2018解高考数学第一轮复习第二讲指数函数与对数函数（老师） 精品

第二讲 指数函数与对数函数

一、高考考向

1．（全国Ⅰ新卷理5）已知命题在R为减函数，则在命题中，真命题是（ C ） （A）

p1x?xx?xp2y?2?2y?2?2：函数在R为增函数，：函数

q1：

p1?p2，

q2：

p1?p2，

q3：

??p1??p2和q4：p1???p2?q2，

q1，

q3 （B）

q2，

q3 （C）

q1，

q4 （D）

q4

解析：易知

p1是真命题，而对

p2y??2xln2?：

11xln2?ln2(2?)2x2x，当x?[0,??)时，

2x?12x，又ln2?0，所以y??0，函数单调递增；同理得当x?(??,0)时，函数单调递p2是假命题．由此可知，

减，故

q1真，

q2假，

q3假，

q4真．

另解：对

p2的真假可以取特殊值来判断，如取

x1?1?x2?2，得

y1?517?y2?24；取

x3??1?x4??2，得

y3?517?y4?24即可得到p2是假命题，下略．

2．已知函数F(x)=|lgx|,若0

A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b?a?这也是命题者的用苦良心之处.

【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或b?又0f(1)=1+

2?22,从而错选A,a12，所以a+2b=a? aa2,由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a?(0,1)上a2=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞). 1?log2xx?0,?3.(2018年高考天津卷理科8)设函数f（x）=?log?x

?x?0 若f(a)>f(-a),则实数a的1???2取值范围是（ ）

（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）

【答案】C

【解析】当a?0时，由f(a)>f(-a)得：log2a?log1a，即log2a?log2211，即a?， aa1a解得a?1；当a?0时，由f(a)>f(-a)得：log1(?a)?log2(?a)，即log2(?)?log2(?a)，

2即?1??a，解得?1?a?0，故选C。 a4．已知定义域为的函数f(x)满足：①对任意x?，恒有f(2x)=2f(x)成立；（0，??）（0，??）当x?（1，2]时，f(x)=2-x。给出如下结论：

①对任意m?Z，有f(2)=0；②函数f(x)的值域为[0，；③存在n?Z，使得??）mf(2n+1)=9；④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是 “存在k?Z，使得 (a,b)?(2k,2k?1)”。

其中所有正确结论的序号是 。 【答案】①②④

【解析】○1f(2)?f(2?2mm?1)?2f(2m?1)???2m?1f(2)?0，正确；○2取

x?(2m,2m?1]，则

xxx；，从而 ?(1,2]f()?2?mmm222xxf(x)?2f()???2mf(m)?2m?1?x，其中，m?0,1,2,?，从而f(x)?[0,??)，

22nm?1正确；○3f(2?1)?2?2n?1，假设存在n使f(2n?1)?9，即存在

x1,x2,s.t.2x1?2x2?10，又，2x变化如下：2,4,8,16,32，……，显然不存在，所以该命题

错误；○4根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是○1○2○4.

二、例题精析：

例1：（上海春卷20）已知函数

f(x)?loga(8?2x)(a?0，且a?1)

（1）若函数f(x)的反函数是其本身，求a的值； （2）当a?1时，求函数y?f(x)?f(?x)的最大值。

例2：已知函数f?x??a?24?a?1（a?0且a?1）。

xx（1）求函数f?x?的定义域和值域；

（2）是否存在实数a，使得函数f?x?满足：对于任意x???1,???，都有f?x??0？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。

解：（1）由4?a?0得a?4，当0?a?1时，x?loga4；当a?1时，x?loga4，故当0?a?1时，函数f?x?的定义域是?loga4,???；当a?1时，函数f?x?的定义域是

xx???,loga4?。

令t?4?ax，则0?t?2，f?x??g?t??4?t?2t?1???t?1??4，当0?t?2时，

22g?t?是减函数，故有g?2??f?x??g?0?，即?5?f?x??3，所以函数f?x?的值域为

??5,3?。

（2）若存在实数a，使得对于任意x???1,???，都有f?x??0，则??1,???是定义域的子集，由（1）得a?1不满足条件；因而只能有0?a?1，且loga4??1，即

21?a?1，4令t?4?ax，由（1）知f?x??g?t????t?1??4，由f?x??0得t??3（舍去），或t?1，即4?ax?1，解得a?3，由是，只须对任意x???1,???，a?3恒成立，

xx而对任意x???1,???，由0?a?1得a?a，因而只要ax?1?11?3，解得?a?1。综上，

3存在a??,1?，使得对于任意x???1,???，都有f?x??0。

例3：（ 2018年高考全国卷I理科20）已知函数f(x)?(x?1)lnx?x?1.

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