高三数学（文科）基础题系列训练（四）

高三数学（文科）基础题系列训练（四）

题1：在△ABC中，已知AC?2，BC?3，cosA??（1）求sinB的值； （2）求sin?2B?

题2：如图，在直四棱柱ABCD?A1BC11D1中，已知DC?DD1?2AD?2AB，

4． 5

?????的值． 6?AD⊥DC，AB∥DC．

（1）求证：DC1⊥AC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，

使D1E∥平面A1BD，并说明理由．

D C

B

A

C D

A B

题3：运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米, 按交通法规限制50?x?100

x2(单位: 千米/小时). 假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗油2?升, 司机

360

的工资是每小时14元.

(1) 求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2) 当x为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值．

题4：（选做题）先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 已知a1,a2?R ，a1?a2?1 ，求证a1?a2? 证明：构造函数f(x)?(x?a1)2?(x?a2)2

22221， 222 因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以??4?8(a1?a2)?0 , 从而得a1?a2?1. 2（1）若a1,a2,?,an?R，a1?a2???an?1，请写出上述结论的推广式； （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。

高三数学（文科）基础题系列训练（四）答案

3?4?题1．（Ⅰ）解：在△ABC中，sinA?1?cosA?1?????，……………2分

5?5?22由正弦定理，

BCAC?．………………………………………………………………4分 sinAsinB

AC232sinA???．………………………………………………………6分 BC3554（Ⅱ）解：因为cosA??，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是

5所以sinB?21?2?cosB?1?sin2B?1????，…………………………………………………8分

55??2cos2B?2cos2B?1?2?2117?1?，………………………………………………10分 525221421． sin2B?2sinBcosB?2???55153171127?17????421?．…12分 ????sin?2B???sin2Bcos?cos2Bsin?25225250666??D1 C1

题2．（1）证明：在直四棱柱ABCD?A1BC11D1中， 连结C1D，

A1 B1

?DC?DD1， ?四边形DCC1D1是正方形．

（2）连结AD1，连结AE，

设AD1?A1D?M，

?DC1⊥DC1．……………………………………………3分

又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC⊥DD1?D，

?AD⊥平面DCC1D1， D1C?平面DCC1D1，

A

D B

C

?AD⊥DC1．……………………………………5分

?AD，DC1?平面ADC1， 且AD⊥DC?D， ?D1C⊥平面ADC1，…6分

又AC1?平面ADC1，

?DC1⊥AC1．……………7分

D1

C1

B1

BD?AE?N，连结MN，?平面AD?平面A1 1E， A1BD?MN

要使D1E∥平面A1BD， 须使MN∥D1E， 又M是AD1的中点． ?N是AE的中点．

M D A

B

E C

又易知△ABN≌△EDN， ?AB?DE． 即E是DC的中点．

综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD．…………………15分

题3．解: (1) 设行车所用时间为t?130(h)………………………………………1分 x130x214?130y??2?(2?)?,x?[50, 100] …………………………8分

x360x所以, 这次行车总费用y关于x的表达式是

130?182?130234013（或:y?100] ……10分 y??x, x?[50, 100]，?x, x?[50, x360x18130?182?130（2）y?100]………………………12分 ?x?2610, x?[50, x360130?182?130仅当?x,即x?1810时, 上述不等式中等号成立……14分

x360答：当x约为56.88km/h时, 行车的总费用最低, 最低费用的值约为82.16元.……15分 题4 解：（1）若a1,a2,?,an?R，a1?a2???an?1 求证：a1?a2???an?2221 （4分） n （2）证明：构造函数f(x)?(x?a1)2?(x?a2)2???(x?an)2 （6分）

（8分）

因为对一切x∈R，都有f(x)≥0，所以△=4?4n(a12?a22???an2)≤0,（10分） 从而证得：a1?a2???an?

2221 . （12分） n