初中几何-做辅助线的方法及试题

常见辅助线的方法：（最常见的就是连接特殊两点，作垂线和平行线(中位线)等） 1） 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2） 遇到三角形的中点或中线，可作中位线或倍长中线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。必要时也可直接旋转。

3） 遇到角平分线，可以在角平分线上一点像角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4） 截长补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定的线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明。这种方法适合于证明线段的和，差，倍，分等类的题目。 5） 等面积法：利用三角形（或其他图形）面积不同求法来解决线段之间的问题。 6） 遇到线段的垂直平分线，连接线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

7） 遇到直角三角形，作直角三角形斜边上的中线。 8） 在有特殊角的情况下，考虑作等边三角形。

一．倍长中线造全等

1.（“希望杯”试题）已知，如图ΔABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是___________。

2.如图，ΔABC中，E,F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小。

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3.如图，在ΔABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE。

4.（09崇文二模）以ΔABC的两边AB，AC为腰分别向外作等腰RtΔABD和等腰RtΔACE，

∠BAD=∠CAE=90°,连接DE，M和N分别是BC和DE的中点，探究：AM与DE的位置关系与数量关系。

（1）.如图1，当ΔABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是___________，线段AM与DE的数量关系是___________。

(2).将图1中的等腰RtΔABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0<θ<90）后，如图2所示，（1）问中的两个结论是否发生改变？说明理由。

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二．截长补短

5.如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC。

6.如图，已知在ΔABC内，∠BAC=60°，∠C=40°，P,Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP.

7.如图在ΔABC中，AB>AC,∠1=∠2，P为AD上任意一点，求证：AB-AC>PB-PC.

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三．线段的垂直平分线

8.已知如图，∠1=∠2，ED∥AC，交AB于点E，EF⊥AD交BC的延长线于点F，求证：∠FAC=∠B。

四．等腰三角形

9.如图，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ABC=45°,AD是BC边上中线，CE⊥AD于点H，求证：∠ADC=∠EDB.

10、如图，△ABD、△ACE都是等边三角形，BE和CD交于O点， (1)求证：CD=BE ； (2)求∠BOC的度数。

DAOBCE

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