（完整word版）复变函数试题库

《复变函数论》试题库

梅一A111

《复变函数》考试试题（一）

?dz1、 |z?z0|?1(z?zn?__________.（n为自然数） 0)222.

sinz?cosz? _________. 3.函数sinz的周期为___________.

f(z)?14.设

z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.

?5.幂级数

?nzn的收敛半径为__________.

n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

7.若limn??zz1?z2?...?znn??lim，则n??n?______________. s(ezRen,0)?8.z________，其中n为自然数.

9. sinzz的孤立奇点为________ .

lim10.若z0是

f(z)的极点，则z?zf(z)?___0.

三.计算题（40分）：

f(z)?11. 设

(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.

2. ?1|z|?1coszdz.

3?2?7??13. 设

f(z)??C??zd?，其中

C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).

w?z?14. 求复数

z?1的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数

f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，

那么它在

D内为常数.

2. 试证: f(z)?z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两

个单值解析分支, 并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.

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《复变函数》考试试题（二）

二. 填空题. (20分) 1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,z?__

2.

设

f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，zl?1?iif(z)m?________.

3.

?dz|z?z0|?1(z?z0)n?_________.（n为自然数）

?4. 幂级数

?nzn的收敛半径为__________ .

n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________.

7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有_________. 9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.

10. Res(z?1z4,1)?____.

三. 计算题. (40分)

1. 求函数

sin(2z3)的幂级数展开式. 则

2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z在正

实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点

z?i处的值.

3. 计算积分：I??i?i|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）

的右半圆.

?sinzz?2dz4. 求

(z??)22.

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题（三）

二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________. 2. 函数ez的周期为_________.

2

3. 若zn?21?n?i(1?1n?n)n，则limn??zn?__________.

4. sin2z?cos2z?___________.

dz5. ?|z?z?0|?1(z?zn_________.（n为自然数） 0)?6. 幂级数

?nxn的收敛半径为__________.

n?07. 设f(z)?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.

8. 设

ez??1，则z?___.

9. 若z0是

f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.

0z10. Res(ezn,0)?____.

三. 计算题. (40分)

11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为Laurent级数.

??2. 试求幂级数?n!nzn的收敛半径. n?n3. 算下列积分：

?ezdzCz2(z2?9)，其中C是|z|?1.

4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|<1内根的个数.

四. 证明题. (20分) 1. 函数

f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常

数，那么它在D内为常数.

2. 设

f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数

R及M，使得当

|z|?R时

|f(z)|?M|z|n，

证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四）

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二. 填空题. (20分) 1. 设z?11?i，则Rez?__,Imz?___.

2. 若limzz1?z2?...?znn??n??，则limn??n?______________.

3. 函数ez

的周期为__________. 4. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.

6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________. 7. 设

C:|z|?1，则?C(z?1)dz?___.

8. sinzz的孤立奇点为________.

9. 若z0是f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.

010.

(ezReszn,0)?_____________.

三. 计算题. (40分)

1. 解方程z3?1?0.

2. 设f(z)?ezz2?1，求Res(f(z),?).

3.

?z|z|?2(9?z2)(z?i)dz. .

114. 函数f(z)?ez?1?z有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它

的阶数）.

四. 证明题. (20分)

1. 证明：若函数

f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解

析.

2. 证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根.

《复变函数》考试试题（五）

二. 填空题.（20分） 1. 设

z?1?3i，则|z|?__,argz?__,z?__.

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