第二章复习题

第二章 复习题

1．求极限lim(2csc2x?0x?cotx)。

解 limx?0(2csc2x?cotx)?lim?2cosx?x?0??sin2x?sinx?? ?lim1?cos2xsinxx?0sinxcosx?limx?0cosx?0。

2．求极限limex?1x?0ln(1?4x)。

解 令t?ex?1，则x?ln(t?1)，

x lime?1x?0ln(1?4x)?limtt?0ln[1?4ln(t?1)]

?limtt?01?14ln(t?1)ln[1?4ln(t?1)]4ln?t?1? ?lim11t?04???4。

tln(t?1)3．若lim(x2?1x??x?1?ax?b)?0，求a、b的值。

1

?x?1?解 lim??ax?b?

x???x?1?

2?limx???1?a?x2?(b?a)x?1?bx?1

1?b(1?a)x?(b?a)?x?0， ?limx??11?x 所以1?a?0，b?a?0，所以a?1，b?1。 ?cosx, x?0??x?24．设f(x)??，其中a?0，

?a?a?x, x?0?x?（1）当a为何值时，x?0是f(x)的连续点？

（2）当a为何值时，x?0是f(x)的间断点？是什么类

型的间断点？

cos01?， 解（1）f(0)?0?22cosx1limf(x)?lim?，

??x?0x?0x?22

2

a?a?x limf(x)?lim

x?0?x?0?x11 ?lim ?x?0?a?a?x2a ? a?1时，limf(x)?limf(x)?f(0)

??x?0x?0x?0是f(x) 的连续点。

x?0 （2）当a?1且a?0时，limf(x)?limf(x)，

??x?0x?0f(x)的跳跃间断点。

25．证明当x?0时，x?sinx~x。

n?0 解 当x?0时，x?six22x?sinxsinxlim?lim(1??x)?1； 2x?0x?0xxx6．设f(x)?e?2，求证在区间(0,2)内至少有一点x0

2使e证 设

x0?2?x0。

xg(x)?e?2?x，g(x)在(0,2)上连续，

2g(0)??1?0，g(2)?e?4?0，所以在区间(0,2)e

内至少存在一点

x0x0，使

g(x0)?0，即

x0?2?x0?0，即e?2?x0

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