2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第11讲空间几何体练习

典例2 (2019·东北三省四市高三第二次模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等；q：A，B在同高处的截面面积不恒等．根据祖暅原理可知，p是q的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

答案 A

空间几何体与命题交汇的问题，常在充要条件处设置障碍．解决此类问题的关键，在于明确命题的条件和结论互推的结果．因其内容主要与几何体的基本概念相结合，因此解决过程中，一是要明确各基本定义、定理，正确的能进行论证；二是利用具体图形作分析，举出相应的反例.

设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β ”是“a⊥b”的( )

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A

解析 若α⊥β，因为α∩β＝m，b?β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a?α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

α⊥β.故选A.

真题自检感悟

1.(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )

A.86π B．46π C．26π D.6π

答案 D

解析 设PA＝PB＝PC＝2a，

则EF＝a，FC＝3，∴EC＝3－a. 在△PEC中，

2

2

a2＋3－a2－2acos∠PEC＝2

2a3－a2

.

a2＋3－a2－4

在△AEC中，cos∠AEC＝. 2

2a3－a∵∠PEC与∠AEC互补，∴3－4a＝1，a＝故PA＝PB＝PC＝2.又AB＝BC＝AC＝2， ∴PA⊥PB⊥PC， ∴外接球的直径2R＝ ∴R＝

2

22

2， 2

＋2

2

＋2

2

＝6，

6434?6?3

，∴V＝πR＝π×??＝6π.故选D. 233?2?

2.(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．

答案 26 2－1 解析 先求面数，有如下两种方法．

解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26个面．

解法二：一般地，对于凸多面体，

顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2(欧拉公式)． 由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24， 故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26. 再求棱长．

如图，作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形

ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝

2

x. 2

又AM＋MN＋NF＝1，即22

x＋x＋x＝1. 22

解得x＝2－1，即半正多面体的棱长为2－1.

3.(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面

SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________．

答案 36π

解析 如图，连接OA，OB.

由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.

由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB. 设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r， ∴三棱锥S－ABC的体积 1?1r3?V＝×?SC·OB?·OA＝， 3?23?

即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr＝36π. 3

专题作业

一、选择题

1.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )

r3

2

A．①② C．①④ 答案 D

解析 ①正方体的三个视图均为正方形，因此①不符合题意；②圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形，俯视图为圆，因此②满足条件；③三棱台的正视图为梯形，俯视图为三角形，侧视图也为梯形，但其腰长与正视图的腰长不等，故③不符合题意；④正四棱锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形，俯视图为正方形，所以④满足条件，故选D.

2.某几何体的三视图，其正视图、侧视图均是直径为2的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为( )

A.3π B．4π C．5π D．12π 答案 A

B．①③ D．②④