[高中数学]任意角的三角函数 - 同角三角函数基本关系专题讲义附练习与答案强烈推荐！

三角函数的概念专题

关键词： 三角函数的定义 终边 弧长公式 扇形面积 同角的基本关系 学习目标： 理解角的概念，掌握同角三角函数基本关系

? 对角的概念的理解：

（1）无界性 ??R 或 (??,??) （2）周期性

（3）终边相同的角的表示：

（1）?终边与?终边相同(?的终边在?终边所在射线上)?????2k?(k?Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角?1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

（答：?25；?（2）?终边与?终边共线(?的终边在?终边所在直线上) ?????k?(k?Z). （3）?终边与?终边关于x轴对称??????2k?(k?Z). （4）?终边与?终边关于y轴对称???????2k?(k?Z). （5）?终边与?终边关于原点对称???????2k?(k?Z).

（6）?终边在x轴上的角可表示为：??k?,k?Z；?终边在y轴上的角可表示为：??k??终边在坐标轴上的角可表示为：??____________。

（答：2k??? 角与角的位置关系的判断 （1） 终边相同的角 （2） 对称关系的角

（3） 满足一些常见关系式的两角

?5?） 36?2,k?Z；?k??,k?Z.如?的终边与的终边关于直线y?x对称，则?＝

62?3,k?Z）

?是第_____象限角 ：一、三） 22? 弧长公式：l?|?|R，扇形面积公式：S?1lR?1|?|R，1弧度(1rad)?57.3.

22例如：若?是第二象限角，则

例如：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：2cm）

? 三角函数的定义：

高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。 但既有联系，又有区别。 定义：设?是任意一个角，P(x,y)是?的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是r?那么sin??2x2?y2?0，

yxyrxr,cos??，tan??,?x?0?，cot??(y?0)，sec???x?0?，csc???y?0?。rrxxyy三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。

例如：（1）已知角?的终边经过点P(5，－12)，则sin??cos?的值为＿＿。??◎●■??????

（答：?（2）设?是第三、四象限角，sin??

7）； 132m?3，则m的取值范围是_______ 4?m1

（答：（－1，)）；

（3）若

32|sin?|cos???0，试判断cot(sin?)?tan(cos?)的符号 sin?|cos?|（答：负）

7. 特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° 0° 0 90° 1 180° 0 270° －1 sin? 1 22 22 21 3 21 2cos? 3 21 0 －1 0 tan? 3 33 3 30 0 cot? 3 1 0 0 记忆的时候注意利用规律

8. 同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：sin2??cos2??1,1 ?tan（2）倒数关系：tan?cot?=1, （3）商数关系：tan??

同角三角函数的基本关系式的基本作用是：已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。

例如：

（1） 若0?2x?2?，则使1?sin22x?cos2x成立的x的取值范围是____

（答：[0,

（2）已知sin????sec?,1?cot??csc?sin?cos?,cot?? cos?sin??4

]

3[?,?]）； 4m?34?2m?(????)，则tan?＝____ ，cos??m?5m?52（答：?5）； 12（3）已知

tan?sin??3cos?2??1，则＝___；sin??sin?cos??2＝____

tan??1sin??cos?（答：?513；）； 35（4）已知sin200?a，则tan160等于

??1?a21?a2 A、? B、 C、? D、

22aa1?a1?aaa（答：B）；

2

课堂练习：

1. 设?分别是第二、三、四象限角，则点P(sin?,cos?)分别在第___、___、___象限. 2. 已知sinx?cosx?m,(m?2,且m?1)， 求sinx?cosx

3．若角α的终边在直线y＝－x上，则

sin??cos2?1?sin2?1cos?＝ .

?4．使tanx－

1sinx有意义的x的集合为 . 5．已知α是第二象限的角，且cosα4α

2 ＝－5 ，则2 是第 象限的角.

课后练习：

一、选择题

1. 设?角属于第二象限，且cos?2??cos??2，则

2角属于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

sin7?2. 给出下列各函数值：①sin(?10000)；②cos(?22000)；③tan(?10)；④

10cos?. tan17?9（ ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④3.

sin21200等于（ ）

3

其中符号为负的有

A. ?1333 B. C. ? D.

22224. 已知sin??4，并且?是第二象限的角，那么tan?的值等于（ ）54334A. ? B. ? C. D.

43345π3π

5．若θ∈（ ， ），则1－2sinθcosθ 等于

42

A.cosθ－sinθ

C.sinθ－cosθ

B.sinθ＋cosθ D.－cosθ－sinθ

1

6．若tanθ＝ ，则cos2θ＋sinθcosθ的值是

3

6A.－

5

44

B.－ C.

55

6

D.

5

三、解答题

1. 已知tan?，

m－n

2. 设cosθ＝ （m＞n＞0)，求θ的其他三角函数值.

m＋n

3．证明(1)

1＋2sinθcosθ1＋tanθ

＝

cos2θ－sin2θ1－tanθ

1722是关于x的方程x?kx?k?3?0的两个实根，且3?????，求cos??sin?的值.

2tan?(2)tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ

4

5