当前位置：首页 > 人教版七年级数学下册第八章二元一次方程组全章教案（共52页）
第八章 二元一次方程组
1.了解二元一次方程(组)的有关概念.
2.掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组. 3.能解简单的三元一次方程组.
4.在具体的情境中,能从数学的角度发现、提出和解决问题.
1.了解解二元一次方程组和三元一次方程组的“消元思想”,初步理解化未知为已知和化复杂问题为简单问题的化归思想.
2.注重“消元”和“化归”这两种重要的数学思想的渗透.
经历从实际问题中抽象出二元一次方程(组)的过程,体会方程的模型思想,发展灵活运用有关知识解决实际问题的能力,培养良好的数学应用意识.
本章通过实际问题引入了二元一次方程(组),又引导学生通过观察、思考、探究等活动,体会解二元一次方程组的基本方法——代入法和加减法,然后顺理成章地给出现实问题的解答.在此基础上,学习了简单的三元一次方程组及其解法.
二元一次方程组是继学生学习了一元一次方程之后所研究的一类最简单的线性方程组,其代入消元和加减消元的思想和方法,不仅是解二元一次方程组的最基本的方法,也是解三元一次方程组和二元二次方程组的基本方法.同时,也是学习其他数学知识乃至物理、化学等学科知识的重要基础.
【重点】
1.利用消元法解二元一次方程组.
2.利用建立方程的数学模型解决实际问题. 【难点】
1.二元一次方程解的不定性. 2.方程组解的意义. 3.列方程组解应用题.
1.强化二元一次方程组概念的形成和应用过程.在学生已有的解一元一次方程经验的基础上,通过认识实际问题中的两个未知量应同时适合两个方程,从而理解需将这两个方程联立,这样便很自然地建立起二元一次方程组的概念.借助于问题情境,引导学生理解实际问题,探究实际问题中各种数量的意义和相互关系,能用恰当的式子表示这种关系,正确地列出二元一次方程组并解决问题.
2.注重转化思想的渗透.代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组的基本方法,教师在教学过程中应注意引导学生分析这两种方法的目的都是消元,即通过消去一个未知数,把“二元”转化为“一元”,并鼓励学生用自己的语言概括解方程组的主要步骤.
8.1 二元一次方程组 1课时
8.2 消元——解二元一次方程组 4课时 8.3 实际问题与二元一次方程组 3课时 8.4 三元一次方程组的解法 1课时
单元概括整合 1课时
8.1 二元一次方程组
理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义,并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.
学会用类比的方法迁移知识;体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性.
通过学习,感受数学与生活的联系,感受学习数学的乐趣.
【重点】 二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义. 【难点】 二元一次方程组解的含义.
【教师准备】 教学导入过程的情境图片. 【学生准备】 复习一元一次方程的相关知识.
导入一:
“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡、兔各几何?”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.
你能用哪些方法解决这个问题呢?如果设两个未知数,能解决这个问题吗?
[设计意图] 通过古代数学经典习题,可以提升学生对中华传统文化成就的自豪感.学生会用多种方法解决问题,提出设两个未知数解决问题,对于学生来说还是新的方法,这就为引入二元一次方程的学习做好了过渡的衔接. 导入二:
每块饼干的质量是x克,每颗糖果的质量是y克,小明拿了一个等臂天平,在左边秤盘里放两块饼干,右边秤盘里放三颗糖果,结果天平两臂平衡,当在左边秤盘里又放了三块饼干,右边秤盘里又放了四颗糖果时,天平并没有平衡,只好在右边秤盘里又加了1克的砝码才使得天平平衡. 上面的例子中,可以得到两个方程是2x=3y和5x=7y+1,怎样看待这两个方程呢?它们的解有什么实际意义?
[设计意图] 学生对方程的理解暂时还是“一元一次”的程度,提出与“一元一次”性质不同的方程,能够唤起学生的好奇心,激起学生解决问题的欲望. 导入三:
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜、负场数分别是多少?
在上面的问题中,要求的是两个未知数.如果用一元一次方程来解决,列方程时,要用一个未知数表示另一个未知数.能不能根据题意直接设两个未知数,使列方程变得容易呢?我们从这个想法出发,开始本章的学习.
[设计意图] 借助于教材情境直接提出用含有两个未知数的方程解决问题,为直接引入二元
一次方程的概念做了铺垫.也让学生感受到要提高解决生活中的数学问题的能力,必须持续地进行学习.
一、二元一次方程 思路一
[过渡语] (针对导入三)前面提到的两个未知数的方程是什么方程呢?与我们学过的一元一次方程有什么不同呢? 问题
(1)情境中包含哪两个等量关系?
(2)如果设胜的场数是x,负的场数是y,你能用方程把这些条件表示出来吗? (3)你能把上述等量关系整理在下面的表格中吗? 胜 负 合计 场数 积分 方程:
(4)新列出的方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同? (5)你能总结什么是二元一次方程吗? 〔解析〕 情境中包含这样两个等量关系:胜的场数+负的场数=总场数,胜场积分+负场积分=总积分.列表如下: 胜 负 合计 场数 x y 10 积分 2x y 16 方程:2x+y=16 x+y=10
认识新列出的两个方程的特点,可以从未知数的数量和未知数的次数两个方面进行分析.方程x+y=10与2x+y=16都含有两个未知数x和y,并且含有未知数的项的次数都是1.这两个方程中都含有两个未知数,而一元一次方程中只含有一个未知数. [处理方式] 学生讨论交流后共同总结以上五个问题的答案.
定义:上面两个方程中,每个方程都含有两个未知数(x和y),并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.
(补充)下列方程中,是二元一次方程的是 ( ) A.7x+3y=2 B.xy=9 C.x+2y2=11 D.=2
〔解析〕 本题考查二元一次方程的定义,B选项的次数为2,C选项的最高次数为2,D选项不是整式方程,故都不是二元一次方程.故选A.
[解题策略] 从以下三个方面整体理解二元一次方程的定义:(1)有两个未知数;(2)含有未知数的项的次数为1;(3)是整式方程.
[知识拓展] 1.二元一次方程还可以定义为:在方程中有两个未知数,未知数与未知数之间没有乘法、除法运算,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.
2.理解二元一次方程的概念要特别注意对次数的要求是“含有未知数的项的次数为1”,不能理解为“每个未知数的次数都是1”,如xy+2=0就不是一个二元一次方程. 思路二
[过渡语] (针对导入一)同学们想一想,怎样求出有多少只鸡和多少只兔子呢? [处理方式] 学生用各自的方法计算,然后讨论交流.
算法展示:
(1)算数方法:把兔子和鸡的脚数看成“相等”,则多出94- 35×2=24只脚,每只兔子比鸡多出两只脚,由此可先求出兔子有24÷2=12(只),随后可算出鸡有35- 12=23(只). 类似地也可以先求鸡的数量:35×4- 94=46(只),46÷2=23(只). (2)列一元一次方程:
设有x只鸡,则有(35- x)只兔子. 根据题意,得2x+4(35- x)=94.
解方程可求出x=23.35- 23=12(只). 所以有23只鸡,12只兔子.
[过渡语] 刚才同学们用了不同的方法解决了古代的数学问题.我们还有没有其他的解决办法呢?
如果我们设有x只鸡,有y只兔子,依题意得这样两个方程: x+y=35,2x+4y=94.
同学们比较这两个方程与前面学过的一元一次方程,有什么不同呢? (老师提示学生从未知数数量和未知数的次数进行比较.) 结合学生的回答,教师板书定义:
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程,叫做二元一次方程. 二、二元一次方程组
[过渡语] 如果把上面的两个方程放在一起,我们怎么称呼这样的方程呢? 上面的问题中包含两个必须同时满足的条件,也就是未知数x,y必须同时满足方程: x+y=10,① 2x+y=16.②
把这两个方程合在一起,写成就组成了一个方程组.这个方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.
[知识拓展] 二元一次方程组的概念是一个描述性定义,两个未知数不是两个方程中每个方程都含有两个未知数,可以是一个方程中含有一个未知数,也可以是两个方程中含有不同的两个未知数.
(补充)下列方程组中,属于二元一次方程组的是 ( ) A. B. C. D.
〔解析〕 本题主要考查二元一次方程组的定义.A选项共含有三个未知数;B选项中的未知数的最高次数是2;D选项中不全是整式方程,故都不是二元一次方程组.故选C. 三、二元一次方程组的解
[过渡语] 同学们知道一元一次方程解的定义,那么二元一次方程组的解和一元一次方程的解之间是否存在着一定的联系呢?
问题1
下面哪些解既适合方程x+y=10,又符合问题的实际意义? x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
〔解析〕 由上表可知x=0,y=10;x=1,y=9;…;x=10,y=0使方程x+y=10两边的值相等,它们都是方程x+y=10的解.如果不考虑方程x+y=10与上面实际问题的联系,那么x=- 1,y=11;x=0.5,y=9.5;…也都是这个方程的解.这说明二元一次方程除非有实际意义的限制或者特别的限制,否则这种方程有无数个解.
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