十年真题(2010 - 2019)高考数学真题分类汇编专题10立体几何与空间向量解答题理（含解析）

专题10立体几何与空间向量解答题

历年考题细目表

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历年高考真题汇编

1．【2019年新课标1理科18】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，

年份 考点 试题位置 2019年新课标1理科18 2018年新课标1理科18 2017年新课标1理科18 2016年新课标1理科18 2015年新课标1理科18 2014年新课标1理科19 2013年新课标1理科18 2012年新课标1理科19 2011年新课标1理科18 2010年新课标1理科18 空间向量在立体几何中的应2019 用 2018 2017 2016 2015 空间角与空间距离 空间角与空间距离 空间向量在立体几何中的应用 空间向量在立体几何中的应用 空间向量在立体几何中的应2014 用 空间向量在立体几何中的应2013 用 空间向量在立体几何中的应2012 2011 2010 用 空间向量在立体几何中的应用 空间角与空间距离 E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．

【解答】（1）证明：如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1，且又MB∥AA1，MB，∴四边形NMBH为平行四边形，则NM∥BH，

，

由NH∥AA1，N为A1D中点，得H为AD中点，而E为BC中点， ∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE， ∴NM∥DE，

∵NM?平面C1DE，DE?平面C1DE， ∴MN∥平面C1DE；

（2）解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则N（，，2），M（，1，2），A1（，﹣1，4），

，

设平面A1MN的一个法向量为

，取x， ，

由，得，

又平面MAA1的一个法向量为∴cos

∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为

． ．

，

2．【2018年新课标1理科18】如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF． （1）证明：平面PEF⊥平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点， 则

，

，

由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC． 由于PF⊥BF，EF∩PF＝F，则BF⊥平面PEF． 又因为BF?平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD． （2）在平面PEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH， 由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF， 则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．

在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，