平面向量知识点总结及习题

平面向量知识点汇总

基本知识回顾：

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法：

①用有向线段表示-----AB(几何表示法)； ②用字母a、b等表示(字母表示法)； ③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a?xi?yj，(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a?(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特别地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0)。a???x2?y2；若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

AB??x2?x1,y2?y1?，

3.零向量、单位向量：

AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2 ①长度为0的向量叫零向量，记为0；

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：4.平行向量：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

a|a|就是单位向量）

?????0,b与a同向??方向---???0,b与a反向性质：a//b(b?0)?a??b(?是唯一）? ???长度---|a|??b?? a//b(b?0)?x1y2?x2y1?0 （其中 a?(x1,y1),b?(x2,y2)）

5.相等向量和垂直向量：

①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为???2

性质：a?b?ab?0

a?b?x1x2?y1y2?0 （其中 a?(x1,y1),b?(x2,y2)）

6.向量的加法、减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边形法则：

AC?a?b（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）

DB?a?b

?加法???首尾相连三角形法则?

减法???终点相连,方向指向被减数?

——加法法则的推广： ABn?AB1?B1B2????Bn?1Bn

即n个向量a1,a2,??an首尾相连成一个封闭图形，则有a1?a2????an?0 ②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a ?b= a+ (?b)； 差向量的意义： OA= a, OB=b, 则BA=a? b

③平面向量的坐标运算：若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，

a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y)。

④向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) ⑤常用结论： （1）若AD?1(AB?AC)，则D是AB的中点 2（2）或G是△ABC的重心，则GA?GB?GC?0 7．向量的模：

1、定义：向量的大小，记为 |a| 或 |AB| 2、模的求法：

若 a?(x,y)，则 |a|?x2?y2 若A(x1,y1),B(x2,y2)， 则 |AB|?3、性质：

(x2?x1)2?(y2?y1)2 （1）|a|2?a； |a|?b(b?0)?|a|2?b2 （实数与向量的转化关系） （2）a?b?|a|2?|b|2，反之不然

（3）三角不等式：|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b| （4）|ab|?|a||b| （当且仅当a,b共线时取“=”）

即当a,b同向时 ，ab?|a||b|； 即当a,b同反向时 ，ab??|a||b| （5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，

即2|a|2?2|b|2?|a?b|2?|a?b|2

8．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa （1）|λa|=|λ||a|；

（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0；

2??????????????????（3）运算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

交换律：ab?ba;

分配律：(a?b)c?ac?bc

(?a)2b=?(a2b)=a2(?b); ——①不满足结合律：即(ab)c?a(bc)

②向量没有除法运算。如：ab?cb?a?c，

aa?都是错误的 abb2（4）已知两个非零向量a,b，它们的夹角为?，则

ab =|a||b|cos?

坐标运算：a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则ab?x1x2?y1y2 （5）向量AB?a在轴l上的投影为：

︱a︱cos?， （?为a与n的夹角，n为l的方向向量）

其投影的长为AB?//an|n| （

n为n的单位向量） |n|（6）a与b的夹角?和ab的关系：

（1）当??0时，a与b同向；当???时，a与b反向

???ab?0?ab?0 （2）?为锐角时，则有?； ?为钝角时，则有?

???a,b不共线?a,b不共线9．向量共线定理：

???向量b与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=

λa。

10．平面向量基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2。

(1)不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量。 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1) 11. 向量a和b的数量积：

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