专题22 以代数为主的综合题

教育是一项良心工程

答图22－2

在△ODF中， ①若DO＝DF，

∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD＝OD＝DF＝2．

又在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，∴∠OAC＝45°．∴∠DFA＝∠OAC＝45°． ∴∠ADF＝90°．此时，点F的坐标为(2，2)．由?x2＝1－5．

此时，点P的坐标为P1(1＋5，2)或P2(1－5，2)．

②若FO＝FD，如图，过点F作FM⊥x轴于点M，由等腰三角形的性质得OM?＝1，∴AM＝3．

∴在等腰直角△AMF中，MF＝AM＝3，∴F(1，3)．由?12x?x?4?2，得x1＝1＋5，21OD212x?x?4?3,得x1＝1＋ 23，x2＝1－3．

此时，点P的坐标为P3(1＋3，3)或P4(1－3，3)．

③若OD＝OF，∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°，?AC?42.

∴点O到AC的距离为22，而OF?OD?2?22，此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．

综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．所求点P的坐标为 P1(1＋5，2)，P2(1－5，2)，P3(1＋3，3)，P4(1－3，3)． 10．(1)30，

33，； 22(2)∵点P(

?33?b?3,，)，A(3，0)在抛物线上，?? 22?c?1.?4∴抛物线的解析式为y??x2?3x?1，C点坐标为(0，1)，

3∴C点在此抛物线上．

(3)假设存在这样的点M，使得四边形MCAP的面积最大．

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∵△ACP面积为定值，

∴要使四边形MCAP的面积最大，只需使△PCM的面积最大．过点M作MF⊥x轴分别交CP、CB和x轴于E、N和F，过点P作PG⊥x轴交CB于G．(见答图22－3)

答图22－3

S△CPM＝S△CEM＋S△PME＝设M(x0，y0)(0＜x0＜∴ME＝MF－EF＝?13ME·CG＝ME．

4233)，∵∠ECN＝30°，CN＝x0，∴EN＝x0． 234223321x?x? x0，∴S△CPM＝?x0＋302033∵a＝?是

3333＜0，且0? ∴S△CPM有最大值．当x0?时，S△CPM的最大值?34423? 16∵S四边形MCAP＝S△CPM＋S△ACP， ∴四边形MCAP的面积的最大值为此时M点的坐标为(33,). 4233,), 4293?16

所以存在这样的点M(使得四边形MCAP的面积最大，其最大值为

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