河南省洛阳市2019届高三数学二模试卷 理（含解析）

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∴

2

，

∴1＜e﹣1＜3， ∴． 故选B．

10．在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S﹣ABC外接球表面积为（ ） A．6π B．12π C．32π D．36π

【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．

【分析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC⊥SB，结合SB⊥AM，得到SB⊥平面SAC，因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积． 【解答】解：取AC中点，连接BN、SN ∵N为AC中点，SA=SC ∴AC⊥SN，同理AC⊥BN， ∵SN∩BN=N ∴AC⊥平面SBN ∵SB?平面SBN ∴AC⊥SB

∵SB⊥AM且AC∩AM=A

∴SB⊥平面SAC?SB⊥SA且SB⊥AC ∵三棱锥S﹣ABC是正三棱锥

∴SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直． ∵底面边长AB=2， ∴侧棱SA=2，

∴正三棱锥S﹣ABC的外接球的直径为：2R= 外接球的半径为R=

∴正三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是S=4πR2=12π 故选：B．

11．设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（ ） A．1 B． C．2 D．2 中小学最新教育资料

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【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

【分析】由向量满足|﹣（+）|=|﹣|，可得|﹣（+）|=|﹣|≥即

．当且仅当|

|=|﹣|即

时，

，

．即可得出．

【解答】解：∵向量满足|﹣（+）|=|﹣|， ∴|﹣（+）|=|﹣|≥∴当且仅当|∴

|=|﹣|即．

≤

时，

，

=

=2

．

=2

．

故选：D．

12．已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）?f（y）=f（x+y）成立，若数列{an}满足a1=f（0），则下列结论成立的是（ ）

A．f（a2013）＞f（a2019） B．f（a2014）＞f（a2015） C．f（a2019）＜f（a2015） D．f（a2014）＜f（a2019） 【考点】抽象函数及其应用．

【分析】先由题意得到f（0）=1=a1，再根据

，得到an+1=﹣

，

，（n∈N*），且

分别求出a1，a2，a3，a4，数列{an}是以3为周期的周期数列，再求出a2013=a3=﹣2，a2014=a1=1，a2015=a2=﹣，a2019=a3=﹣2，即可比较大小． 【解答】解：∵f（x）?f（y）=f（x+y）恒成立，

∴令x=﹣1，y=0，则f（﹣1）?f（0）=f（﹣1）， ∵当x＜0时，f（x）＞1， ∴f（﹣1）≠0， ∴f（0）=1， ∵

，

∴f（an+1）f（∴f（an+1+

）=1=f（0） ）=f（0）=a1，

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∴an+1+即an+1=﹣

=0， ，

当n=1时，a2=﹣，

当n=2时，a3=﹣2， 当n=3时，a4=1，

∴数列{an}是以3为周期的周期数列， ∴a2013=a3=﹣2， a2014=a1=1， a2015=a2=﹣，

a2019=a3=﹣2， 故选：B．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

+π ．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】该几何体由左右两部分组成：左边是三棱锥，右边是圆柱的一半．即可得出． 【解答】解：该几何体由左右两部分组成：左边是三棱锥，右边是圆柱的一半． ∴该几何体的体积=故答案为： +π．

6

14．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m= 0 ． 【考点】二项式定理的应用．

【分析】在所给的等式中，分别令x=1、x=﹣1，可得2个等式，再结合a1+a3+a5+a7=32，求得m的值．

【解答】解：对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32， 令x=1，可得（m+1）（1+1）6=a0+a1+a2+…+a7①， 再令x=﹣1，可得 （m﹣1）（1﹣1）6=0=a0﹣a1+a2+…﹣a7②， 由①﹣②可得 64（m+1）=2（a1+a3+a5+a7）=2×32，∴m=0， 故答案为：0．

+

=

．

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15．已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为 2 ． 【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．

【分析】先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值． 【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1， 由圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2， ∴S△PBC的最小值S=1=rd（d是切线长） ∴d最小值=2

圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2 故 答案为：2

16．数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=anan+1an+2（n∈N*），设Sn为{bn}的前n项和．若a12=a5＞0，则当Sn取得最大值时n的值等于 16 ．

【考点】数列的求和．

【分析】根据等差数列的通项公式，以及数列的递推关系，即可得到结论． 【解答】解：设{an}的公差为d，由a12=a5＞0得 a1=﹣即d＜0， 所以an=（n﹣

）d，

d，a12＜a5，

从而可知1≤n≤16时，an＞0，n≥17时，an＜0．

从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0， 故S14＞S13＞…＞S1，S14＞S15，S15＜S16． 因为a15=﹣d＞0，a18=d＜0，

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