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学习目标 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能结合具体问题的特征，合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题.2.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数和组合数公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决实际问题.3.能利用计数原理证明二项式定理，掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能应用它们解决与二项展开式有关的计算和证明问题.

1.分类加法计数原理

完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法. 2.分步乘法计数原理

完成一件事需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法. 3.排列数与组合数公式及性质

排列与排列数 排列数公式Amn＝n(n－1)(n－2) 公式 n！…(n－m＋1)＝ ?n－m?！组合与组合数 组合数公式 n?n－1??n－2?…?n－m＋1?AnnmCn＝m＝ Amm！＝当m＝n时，Amn为全排列 An；0！＝1 n＝n！n！ m！?n－m?！0nCn＝Cn＝1； nCmn＝Cn－－m性质 ； m1Cm＝Cmn＋Cnn＋1 备注

4.二项式定理

n，m∈N*且m≤n (1)二项式定理的内容.

n1n11nkknn

(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnb (n∈N*). na＋Cnana

－

－

nkk(2)通项公式：Tk＋1＝Ckb，k∈{0,1,2，…，n}. na

－

(3)二项式系数的性质.

①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；

n

第＋1项?的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项②若n为偶数，中间一项??2?

?第n＋1项和第n＋1＋1项?的二项式系数相等且最大.

22??

12nn0213n1

③C0. n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2；Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋…＝2

－

类型一 数学思想方法在求解计数问题中的应用 角度1 分类讨论思想

例1 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个(用数字作答). 答案 60

解析 1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类. 分三类：①没有数字1和3时，有A34个； ②只有1和3中的一个时，有2A24个；

③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的

11个即可，有C4·C13个.

所以满足条件的三位数共有

211A3C3＝60(个). 4＋2A4＋C4·

反思与感悟 解答排列、组合中的一些较复杂的问题，常用分类讨论思想.讨论时，要注意不重复不遗漏，对于本题解答中，“没有数字1和3”这一类容易被遗漏.

跟踪训练1 用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方框进行涂色，若要求每个小方格，涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是________.

答案 14

解析 因为涂成红色的方格数为偶数，即涂成红色的方格数为0或2，

12

3个格涂一种颜色有2种(全黄或全蓝)3个格涂2颜色且涂0个红色时，C2C3＝6(种). 23个格涂2颜色且涂2个红色时，C12C3＝6(种).

根据分类加法计数原理，可得共有2＋6＋6＝14(种). 角度2 “正难则反”思想

例2 平面上有9个点，排成三行三列的方阵，以其中的任意3个点为顶点，共可以组成________个三角形(用数字作答). 答案 76

解析 正面考虑，需分类且容易出现遗漏或重复.从反面考虑9个点中有3个点共线的情况的种数，问题则较易解决.

9个点中有3个点共线的情况，显然是三行、三列和两条对角线上的点，易知共8种，9个点

3中任取3个点的组合数为C39，所以共可以组成C9－8＝76(个)三角形.

反思与感悟 对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考. 跟踪训练2 从甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有________种. 答案 30

解析 从4人中选出两个人作为一个元素有C24种方法，

3同其他两个元素在三个位置上排列C24A3＝36(种)方案，

其中有不符合条件的，

即学生甲，乙同时参加同一竞赛有A33种结果， ∴不同的参赛方案共有36－6＝30(种). 类型二 排列与组合的综合应用

例3 有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (1)共有多少种放法？

(2)恰有1个盒子中不放球，有多少种放法？ (3)恰有2个盒子中不放球，有多少种放法？

解 (1)由分步乘法计数原理可知，共有44＝256种放法.

(2)先从4个小球中取2个作为一组，有C2再把取出的2个小球与另外2个小4种不同的取法，

球(即3组)分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种不同的放法，根据分步乘法计数原理

3知，共有C24A4＝144(种)不同的放法.

(3)恰有2个盒子中不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法： 第1类，1个盒子中放3个小球.一个盒子中放1个小球.先把小球分组，有C34种分法，再放

32到2个盒子中，有A24种不同的放法，共有C4A4种不同的放法； 2

C24A4第2类，2个盒子中各放2个小球有2种放法.

A2

故恰有2个盒子中不放球的放法共有

2C24A432

C4A4＋2＝84(种).

A2

反思与感悟 排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合.对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列.对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏.在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净.

跟踪训练3 (1)某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ (2)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. ①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？

②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ ③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？

解 (1)因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案A48种；

②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A38种方法，所以共有3A38种方法；

③若乙参加而甲不参加同理也有3A38种；

④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余学生到另两个城市有A28种，共有7A28种方法.

332所以共有不同的派遣方法总数为A48＋3A8＋3A8＋7A8＝4 088(种).

(2)①第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A77＝5 040