1.1 集合、势及其运算

第1章 集合论与测度论

1.1 集合、势及其运算

1.1.1 集合的基本概念

定义1.1.1 由具有某种共同特点的个体构成的集体称为集合，（或：集，族，类，簇等）。集合中的个体称为元素。

a?A，a?A（或：a?A），?—空集，

A?B或B?A（或：A?B或B?A），A?B,A?B.

）； A?B?{x:x?A或x?B}称为集A与集B的并集（或：和（集））； A?B?{x:x?A且x?B}称为集A与集B的交集（或：通（集）

A??{x:???I,使x?A?}， ?A??{x:对一切??I,均有x?A?}， ????I?I其中I称为A?的指标集.

定义1.1.2 若A?B??（A?B??），则称集A与集B不相交（相交）；若{A?}的任何两个集没有公共元素，则{A?}是一个不相交的集族.

定义1.1.3 A?B?{x:x?A,（集），（读作A减去B，或A差B）. x?称为}BA与B的差

当B?A时，称差（集）A?B为B关于A的补（集）或余集；记为CAB. 当从上下文能清楚地知道是对哪一个较大的集取余集时，A的余集记为Ac. 称集(A?B)?(B?A)为集A与集B的对称差，记为A?B, 即

A?B?(A?B)?(B?A).

注 下列记号在本课程中是固定的：

N: 全体自然数构成的集合； Z: 全体整数构成的集合； Q: 全体有理数构成的集合；

R1: 全体实数构成的集合； C1：全体复数构成的集合.

设X是一个集合，用2表示X的所有子集构成的集合（或：X的所有子集构成的集

1

X簇，或：X的所有子集构成的集类），称之为X的幂集（合）。

1.1.2 集合的运算

1) A?A?A,A?A?A； （并、交的幂等性）

若A?B，则A?B?B，A?B?A；

2) A???A（空集是加法的零元），A????

3) A?B?B?A （并的交换律）

?A A?B?B （交的交换律） 4) (A?B)?C?A?(B?C) （并的结合律） (A?B)?C?A?(B?C) （交的结合律） 设I是指标集，则

5) A?(6) B?

B?)??(A?B?),????I?I?IA?(?B?)??(A?B?);（分配律）

??I??IA???(B?A?),????IB??A???(B?A?)；

??I??IA??B??(????I?IA),??B???IAA?；)B ??B??(???Icc， (?A?)c??A?； （德?摩根（De Mongan）律） (?A?)c??A???I??I??I??I7) (A)?A；

8) (A?B)?C?(A?C)?(B?C)； （“减法”分配律） 9) (C?A)?B?C?(A?B)，A?B?A?B； 10) A?B?(A?B)?(A?B).

ccc

1.1.3 上限集、下限集及其他

定义1.1.4 设A1,A2,?,An,?是任意一列集，称

limAn?limsupAn (1.1.1)

n??n??为集列{An}的上限集；它是由属于集列{An}中无数多个集的元素的全体所组成的集合，即：

limAn?{xx??Akm,Akm?{An},m?1,2,?}.

n??m?1? 2

称

limAn?liminfAn (1.1.2)

n??n??为集列{An}的下限集；它是由属于集列{An}中从某个指标N?N(x)（这个指标不是固定的，与元素x有关）以后的所有集An都包含的元素的全体（即除去有限多个集外的所有集An所含有的元素）所组成的集合，即

limAn?{x?N?N(x),当n?N时,x??Am}.

n??m?N?

定理1.1.1 设{An}是任意一列集，则

limAn???Am， limAn???Am. (1.1.3)

n???n?1m?nn??n?1m?n????证 (1) 记P?limAn，Q???Am. 往证P?Q.

n???n?1m?n对?x?P，由上限集的定义，x属于{An}中无限个集，不妨设x同时属于

An1,An2,?,Ank,?(nk?nk?1,k?1,2,?). 于是，对任意自然数n，当nk?n时，x?Ank??Am，故x???Am?Q，即P?Q.

m?nn?1m?n????反之，对?y?Q???Am，往证：在{An}中必有无限个集同时含有元素y.

n?1m?n?In fact，取n?1，因为y??Am，所以必存在自然数n1，使得y?An1；

m?1?又因为y?m?n1?1??Am，所以必存在自然数n2?n1，使得y?An2；

这样的过程一直进行下去，得到一列自然数{nk}，n1?n2???nk??，而集

An1,An2,?,Ank,?都含有元素y，因此y?P，于是又有Q?P.

综上所述，有P?Q.

(2) 记A?limAn，B???Am. 往证A?B.

n????n?1m?n对?x?A，由下限集的定义，存在自然数N?N(x)（与x有关），当n?N时，x?An. 于是，x??Am???Am?B对，即A?B.

m?Nn?1m?n??? 3

反之，对?y?B???Am，往证：存在自然数N，当n?N时，x?An.

n?1m?n???In fact，因为y?B???Am，所以存在自然数N，使y??Am，即当n?N时，x?An.

n?1m?nm?N??因此y?A，于是又有B?A.

综上所述，有A?B. 证毕！

注 若从有关集本身所具有的含义去理解，等式(1.1.3)的成立是很明显的。事实上，集

Bn??Am正是命题“集列{Am}中从第n号以后必有集包含它”成立的元素的全体，而?Bnm?nn?1??是使命题“一切Bn(n?1,2,?)都包含它”成立的元素的全体。因此??Am就是使命题“对

n?1m?n???n，集列{Am}中必存在第n号以后的集包含它”成立的元素的全体。显然，命题“对?n，集列{Am}中必存在第n号以后的集包含它”和命题“集列{Am}中有无限个集包含它”等价，所以??Am?limAn. 用同样方式可以考察??Am?limAn. ※

n?1m?nn??n?1m?nn??????

性质 设{An}是任意一列集，S是任意一个集，则

(1) S?limAn?lim(S?An)，S?limAn?lim(S?An)； (1.1.4)

n??n??n??n??(2)

?An?1?n?limAn?limAn??An. (1.1.5)

n??n??n?1?例1.1.1 设An（n?1,2,3,?）是如下一列点集：

1??A2n?1??0,2?,n?0,1,2,?;?2n?1??求{An}的上限集和下限集. 解 ?An?[0,2)n,?1??A2n??0,1??,n?1,2,3,?;

2n??1,?2,?，

?An?1?n?[0,2).

????]?Am???Am?? [0,1]?An(n?1,2,?)， ? [0,1m?1n?1?mnn??liAm??A?nn?n1?[0, 2)，

[0,1]??Am???Am?limAn??An?[0,2)；

m?1n?1m?nn??n?1????而对?x?(1,2)，存在自然数N?N(x)，当n?N时，恒有1?11； ?x?2?2n2n?1即当n?N时，x?A2n，但x?A2n?1. 换句话说，对于开区间(1,2)中的点x，具有充分大的奇数指标的集都含有x，从而{An}中有无限多个集含有x，而充分大的偶数指标的集都不

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