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第1章 集合论与测度论
1.1 集合、势及其运算
1.1.1 集合的基本概念
定义1.1.1 由具有某种共同特点的个体构成的集体称为集合,(或:集,族,类,簇等)。集合中的个体称为元素。
a?A,a?A(或:a?A),?—空集,
A?B或B?A(或:A?B或B?A),A?B,A?B.
); A?B?{x:x?A或x?B}称为集A与集B的并集(或:和(集)); A?B?{x:x?A且x?B}称为集A与集B的交集(或:通(集)
A??{x:???I,使x?A?}, ?A??{x:对一切??I,均有x?A?}, ????I?I其中I称为A?的指标集.
定义1.1.2 若A?B??(A?B??),则称集A与集B不相交(相交);若{A?}的任何两个集没有公共元素,则{A?}是一个不相交的集族.
定义1.1.3 A?B?{x:x?A,(集),(读作A减去B,或A差B). x?称为}BA与B的差
当B?A时,称差(集)A?B为B关于A的补(集)或余集;记为CAB. 当从上下文能清楚地知道是对哪一个较大的集取余集时,A的余集记为Ac. 称集(A?B)?(B?A)为集A与集B的对称差,记为A?B, 即
A?B?(A?B)?(B?A).
注 下列记号在本课程中是固定的:
N: 全体自然数构成的集合; Z: 全体整数构成的集合; Q: 全体有理数构成的集合;
R1: 全体实数构成的集合; C1:全体复数构成的集合.
设X是一个集合,用2表示X的所有子集构成的集合(或:X的所有子集构成的集
1
X簇,或:X的所有子集构成的集类),称之为X的幂集(合)。
1.1.2 集合的运算
1) A?A?A,A?A?A; (并、交的幂等性)
若A?B,则A?B?B,A?B?A;
2) A???A(空集是加法的零元),A????
3) A?B?B?A (并的交换律)
?A A?B?B (交的交换律) 4) (A?B)?C?A?(B?C) (并的结合律) (A?B)?C?A?(B?C) (交的结合律) 设I是指标集,则
5) A?(6) B?
B?)??(A?B?),????I?I?IA?(?B?)??(A?B?);(分配律)
??I??IA???(B?A?),????IB??A???(B?A?);
??I??IA??B??(????I?IA),??B???IAA?;)B ??B??(???Icc, (?A?)c??A?; (德?摩根(De Mongan)律) (?A?)c??A???I??I??I??I7) (A)?A;
8) (A?B)?C?(A?C)?(B?C); (“减法”分配律) 9) (C?A)?B?C?(A?B),A?B?A?B; 10) A?B?(A?B)?(A?B).
ccc
1.1.3 上限集、下限集及其他
定义1.1.4 设A1,A2,?,An,?是任意一列集,称
limAn?limsupAn (1.1.1)
n??n??为集列{An}的上限集;它是由属于集列{An}中无数多个集的元素的全体所组成的集合,即:
limAn?{xx??Akm,Akm?{An},m?1,2,?}.
n??m?1? 2
称
limAn?liminfAn (1.1.2)
n??n??为集列{An}的下限集;它是由属于集列{An}中从某个指标N?N(x)(这个指标不是固定的,与元素x有关)以后的所有集An都包含的元素的全体(即除去有限多个集外的所有集An所含有的元素)所组成的集合,即
limAn?{x?N?N(x),当n?N时,x??Am}.
n??m?N?
定理1.1.1 设{An}是任意一列集,则
limAn???Am, limAn???Am. (1.1.3)
n???n?1m?nn??n?1m?n????证 (1) 记P?limAn,Q???Am. 往证P?Q.
n???n?1m?n对?x?P,由上限集的定义,x属于{An}中无限个集,不妨设x同时属于
An1,An2,?,Ank,?(nk?nk?1,k?1,2,?). 于是,对任意自然数n,当nk?n时,x?Ank??Am,故x???Am?Q,即P?Q.
m?nn?1m?n????反之,对?y?Q???Am,往证:在{An}中必有无限个集同时含有元素y.
n?1m?n?In fact,取n?1,因为y??Am,所以必存在自然数n1,使得y?An1;
m?1?又因为y?m?n1?1??Am,所以必存在自然数n2?n1,使得y?An2;
这样的过程一直进行下去,得到一列自然数{nk},n1?n2???nk??,而集
An1,An2,?,Ank,?都含有元素y,因此y?P,于是又有Q?P.
综上所述,有P?Q.
(2) 记A?limAn,B???Am. 往证A?B.
n????n?1m?n对?x?A,由下限集的定义,存在自然数N?N(x)(与x有关),当n?N时,x?An. 于是,x??Am???Am?B对,即A?B.
m?Nn?1m?n??? 3
反之,对?y?B???Am,往证:存在自然数N,当n?N时,x?An.
n?1m?n???In fact,因为y?B???Am,所以存在自然数N,使y??Am,即当n?N时,x?An.
n?1m?nm?N??因此y?A,于是又有B?A.
综上所述,有A?B. 证毕!
注 若从有关集本身所具有的含义去理解,等式(1.1.3)的成立是很明显的。事实上,集
Bn??Am正是命题“集列{Am}中从第n号以后必有集包含它”成立的元素的全体,而?Bnm?nn?1??是使命题“一切Bn(n?1,2,?)都包含它”成立的元素的全体。因此??Am就是使命题“对
n?1m?n???n,集列{Am}中必存在第n号以后的集包含它”成立的元素的全体。显然,命题“对?n,集列{Am}中必存在第n号以后的集包含它”和命题“集列{Am}中有无限个集包含它”等价,所以??Am?limAn. 用同样方式可以考察??Am?limAn. ※
n?1m?nn??n?1m?nn??????
性质 设{An}是任意一列集,S是任意一个集,则
(1) S?limAn?lim(S?An),S?limAn?lim(S?An); (1.1.4)
n??n??n??n??(2)
?An?1?n?limAn?limAn??An. (1.1.5)
n??n??n?1?例1.1.1 设An(n?1,2,3,?)是如下一列点集:
1??A2n?1??0,2?,n?0,1,2,?;?2n?1??求{An}的上限集和下限集. 解 ?An?[0,2)n,?1??A2n??0,1??,n?1,2,3,?;
2n??1,?2,?,
?An?1?n?[0,2).
????]?Am???Am?? [0,1]?An(n?1,2,?), ? [0,1m?1n?1?mnn??liAm??A?nn?n1?[0, 2),
[0,1]??Am???Am?limAn??An?[0,2);
m?1n?1m?nn??n?1????而对?x?(1,2),存在自然数N?N(x),当n?N时,恒有1?11; ?x?2?2n2n?1即当n?N时,x?A2n,但x?A2n?1. 换句话说,对于开区间(1,2)中的点x,具有充分大的奇数指标的集都含有x,从而{An}中有无限多个集含有x,而充分大的偶数指标的集都不
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