2020年高考理科数学《立体几何》题型归纳与训练

求证：C1M∥平面A1ADD1； 【答案】详见解析

【解析】证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，

且AB＝2CD，所以AB∥DC.又由M是AB的中点，因此CD∥MA且CD＝MA.连接AD1，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，

因为CD∥C1D1，CD＝C1D1， 可得C1D1∥MA，C1D1＝MA， 所以四边形AMC1D1为平行四边形．

因此C1M∥D1A，又C1M?平面A1ADD1，D1A?平面A1ADD1， 所以C1M∥平面A1ADD1. 题型二 线线垂直、面面垂直的证明

1.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝

BC，E是PC的中点．

(1)证明：CD⊥AE； (2)证明：PD⊥平面ABE；

【答案】详见解析

【解析】(1)在四棱锥P－ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC， ∴CD⊥AE，

(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA， ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，

由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD，而PD?平面PCD， ∴AE⊥PD，

∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD， AB⊥AD，∴AB⊥PD， 又∵AB∩AE＝A， 综上可得PD⊥平面ABE.

2.如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AC＝4，AB＝BC＝22.

求证：平面ABC⊥平面APC； 【答案】详见解析

【解析】(1)证明：如图所示，取AC中点O，连接OP，OB.

∵PA＝PC＝AC＝4，

∴OP⊥AC，且PO＝4sin60°＝23. ∵BA＝BC＝22，

∴BA2＋BC2＝16＝AC2，且BO⊥AC， ∴BO＝AB2－AO2＝2. ∵PB＝4，

∴OP2＋OB2＝12＋4＝16＝PB2， ∴OP⊥OB.

∵AC∩OB＝O，∴OP⊥平面ABC. ∵OP?平面PAC， ∴平面ABC⊥平面APC.

3.如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD＝2，BD＝3，PD⊥底面ABCD.

证明：平面PBC⊥平面PBD； 【答案】详见解析 【解析】(1)证明：

QCB?1,CD?2,BD?3 ∴CD2＝BC2＋BD2， ∴BC⊥BD.

又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC. 又∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD.

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而BC?平面PBC， ∴平面PBC⊥平面PBD. 题型三空间向量

1.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AA1＝4，D是棱AA1的中点．如图所示．

(1)求证：DC1⊥平面BCD； (2)求二面角A－BD－C的大小． 【答案】详见解析

【解析】(1)证明：按如图所示建立空间直角坐标系．

由题意，可得点C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(2,0,2)，A1(2,0,4)，C1(0,0,4)．

uuuruuuuruuur于是，DC1＝(－2,0,2)，DC＝(－2,0，－2)，DB＝(－2，2，－2)．

uuuuruuuruuuuruuur可算得DC1?DC＝0，DC1?DB＝0.

因此，DC1⊥DC，DC1⊥DB.

又DC∩DB＝D，所以DC1⊥平面BDC. (2)设n＝(x，y，z)是平面ABD的法向量，

uuuruuur又AB＝(－2,2,0)，AD＝(0,0,2)，

??－2x＋2y＝0，?

所以?取y＝1，可得?y＝1，

??2z＝0.?

?x＝1，?z＝0，

即平面ABD的一个法向量是n＝(1,1,0)．

uuuur由(1)知，DC1是平面DBC的一个法向量，

uuuur记n与DC1的夹角为θ，

12π

则cosθ＝－，θ＝.

23

结合三棱柱可知，二面角A－BD－C是锐角， π

故所求二面角A－BD－C的大小是.

3

2.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，D为AC中点，AE⊥BD于点E，延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．

(1)求证：AE⊥平面BCD； (2)求二面角A－DC－B的余弦值；

(3)在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】详见解析

【解析】(1)证明：因为平面ABD⊥平面BCD，交线为BD， 又在△ABD中，AE⊥BD于点E，AE?平面ABD， 所以AE⊥平面BCD.

(2)由(1)中AE⊥平面BCD可得AE⊥EF. 由题意可知EF⊥BD，又AE⊥BD，

如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系E－xyz，不妨设AB＝BD＝DC＝AD＝2，则BE＝ED＝1.

23，则E(0,0,0)，D(0,1,0)，B(0，－1，0)，A(0,0，3)，3uuuruuur3??F，C(3，2,0)，DC＝(3，1,0)，AD＝(0,1，－3)．由AE⊥平面BCD可知平面DCB的法

?3，0，0?

uuuruuur向量为EA，EA＝(0,0，3)，

由图1条件计算得AE＝3，BC＝23，BF＝设平面ADC的法向量为n＝(x，y，z)，

?3x＋y＝0，则? ?y－3z＝0.

令z＝1，则y＝3，x＝－1，所以n＝(－1，3，1)．

uuur因为平面DCB的法向量为EA，

uuur5

所以cos〈n，EA〉＝＝.

5

所以二面角A－DC－B的余弦值为

uuuuruuur(3)设AM＝λAF，其中λ∈[0,1]．

uuur?3

?由于AF＝，0，－3，

?3?uuuuruuur3

所以AM＝λAF＝λ?，0，－3?，其中λ∈[0,1]．

?3?

12

5

. 5